1、1.2函数及其表示【入门向导】“f”的自述我是“f”，同学们对我一定都很熟悉了，别看我只是一个普通的小写英文字母，在数学王国里我的作用可大了在数学王国里，我代表一种对应关系，如果两个集合之间要形成一种特殊的对应映射的话，他们就必须请我来帮忙，你瞧，“f：AB”就是我帮忙搞定的集合A到集合B的映射我还是一个了不起的魔术师呢，我拿一个篮子()往里装一个实数，就可以按我所代表的对应关系变出一个新的数来，如果我代表减2，就把实数x变成x2，即f(x)x2；如果我代表先加绝对值，再加2，最后再变为相反数，那么我会把2变为f(2)(|2|2)4.我出生于英国，来自于“function”，“function
2、”的中文意思是“函数”，所以人们经常用我来表示函数，对我的理解可从以下几方面考虑：(1)可以把我看成是一种“对应关系”，也就是一种算法的体现，这里f(x)表示的意思是对“x”施行算法“f”之后的结果f(x)x1就表示对“x”施行变换或算法“f”，使x变成x1.但要注意，“x”不只是单独的字母、数，还可以是代数式、函数等(2)yf(x)也可以看成是关于x，y的一个方程，在这里“f”变成了一个关系的模式如f(x)x22x3，则yf(x2)可表示为yx42x23，也可表示为方程x42x2y30.(3)通过我自身所表示的对应关系，把两个量或数联系起来，可以表示函数yf(x)表示x的函数，x是自变量，y
3、为函数，f表示从x到y的对应关系(4)函数符号“yf(x)”是“y是x的函数”的数学表示，仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式符号f(a)与f(x)既有区别又有联系，f(a)表示当自变量xa时函数f(x)的值，而f(x)是自变量x的函数一般情况下，f(x)是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值同学们，我说了这么多，你是否对我又有了更深刻的了解呢？在数学王国里，我们会经常见面的，希望我们能成为好朋友帮你理解函数的概念函数的定义：一般地，设A，B是非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，
4、这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数，记为yf(x)，xA.由所有的自变量x组成的集合A叫做函数yf(x)的定义域，由所有的函数值y组成的集合C称为函数的值域解析式yf(x)表示对于集合A中的任意一个x，在对应关系f的作用下，可得到y，因此f是使“对应”得以实现的方式和途径，是联系x与y的纽带，从而是函数的核心，f可用一个或多个解析式来表示，也可以用数表或图象等其他方式表示“函数”概念是初中和高中阶段的重点和难点，有不少的同学直到高三都不能深刻理解这一概念原因在于这一概念的抽象性如果把“函数”与我们实际生活结合起来，同学们学起来就会觉得既有意义又容易理解和运用(1)函数是个“信使”“函”字
5、本身就有“信件”之意，每封信都是由邮递员按地址投到不同的地方，每封信上都写有确定的地址，不能含混不清函数也是这样，每个自变量x都要按一定的对应关系与确定的y一一对应自变量x就是“一封信”，它被对应关系这个“信使”送到确定的“收信人”y手里(2)函数是个“产品加工厂”工厂里把原料按规格加工成不同的产品函数就是把自变量x按“规格”对应关系“加工”成不同产品y.它也像“数字发生器”，把“原料”自变量x投入到不同的“数字发生器”对应关系中就会得到不同的“产物”因变量y.(3)函数是“封建社会的婚姻”在封建社会，流传着“好女不嫁二夫”，但“一夫可多妻”同样函数中多个自变量x可对应一个函数y，即“一夫多妻
6、”，但是一个“妇女”自变量x不能找多个“婆家”y值有了上面的解释，你对函数这个概念是否更加了解了呢？其实，只要我们对数学产生了兴趣，能经常和我们的生活联系在一起，就易学多了函数概念常见题型函数概念主要围绕其三要素(定义域、值域、对应关系)进行考查，常见题型有以下几类：一、判断一个x，y的关系式能否表示成y为x的函数例1 下列各式是否表示y为x的函数？若是，写出函数的解析式(1)xy3(x0)；(2)x2y21(x(1,0)；(3)x3y31.解要能表示成y为x的函数，则必须对于定义域内任意一个x，均有惟一的y值与之对应(1)满足要求，可表示成y为x的函数y(x0)(2)不满足，因为对于(1,0
7、内任一x值，均有两个y值与之对应，因此不能表示成y为x的函数(3)满足要求，可表示为y.二、判断两函数是否表示同一函数例2 判断下列各组函数是否表示同一函数，并说明理由(1)f(x)，g(x)x0；(2)f(x)，g(x).解(1)中f(x)1(x0)，g(x)x01(x0)，其定义域均为x|x0且对应关系也相同，故是同一函数(2)中f(x)的定义域为1，)，而g(x)的定义域为(，11，)，其定义域不同，故不是同一函数三、根据条件求f(a)或fg(x)的表达式例3 已知f(x)求ff(1)及f(x21)分析已知函数为分段函数，要根据变量的取值，正确选择相应的解析式，所以在研究分段函数时，要特
8、别注意定义域的制约作用解f(1)(1)12，则ff(1)f(2)2215.因为x210，则f(x21)(x21)21x42x22.四、求函数的定义域与值域例4 求函数y的定义域分析我们目前要考虑定义域主要考虑下列各种情形：偶次根式的被开方数为非负数；分式的分母不能为零；幂指数为零时，底数不能为零；自变量本身的实际意义等解根据题意得解之得x2且x3.所以函数的定义域为x|x2且x3例5 已知yf(x1)的定义域为1,2，求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)f(x3)；(3)f(x2)分析本题为根据题中的已知条件求函数的定义域，应根据自变量的特点求解解(1)f(x1)的定义域为1,2，即1x
9、2，2x13，即f(x)的定义域为2,3(2)f(x)的定义域为2,3，2x33.5x6.即f(x3)的定义域为5,6(3)f(x)的定义域为2,3，2x23，x或x，即f(x2)的定义域为，点评(1)若yf(x)的定义域为a，b，则f(g(x)的定义域是ag(x)b的解集；(2)已知f(g(x)的定义域为a，b，则当xa，b时g(x)的函数值的取值集合就是f(x)的定义域例6 下列函数中，值域为(0，)的是()AyBy2x1(x0)Cyx2x1Dy分析求函数的值域方法很多，但目前我们只要会求一些简单函数的值域即可解析A由于x23x1(x)2，所以y的值域为0，)；By2x1函数值y随着x增大
10、而增大，所以y2x1(x0)值域为(1，)；Cyx2x1(x)2，则yx2x1的值域为，)；Dy，x0，x20，则y0.故只有选项D正确答案D学习“函数的表示方法”应注意的几个细节函数有三种常用的表示法：列表法、图象法和解析法，三种表达形式在本质上都揭示了量与量之间的函数关系，我认为学好本节内容应从以下几个细节入手：(1)要学会用不同的方式表示函数，并能将其相互转化，转化时应注意式子要恒等变形，否则定义域及值域都可能发生变化(2)已知函数类型，求函数解析式最常用方法是待定系数法，解题关键在于简略地列出方程组求解系数，但在很多求解析式的问题中，不确定给出哪一种类型的函数，此时就要另寻捷径(3)换
11、元法与整体替换法是求解一类函数解析式的通法，但要注意引入“元”的范围，即定义域问题(4)学习分段函数时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数这一细节，分段函数具有很强的抽象性，在解决有关分段函数的有关问题时，不要被其表面形式所迷惑(5)解决抽象函数的有关问题的基本方法是：给变量赋予特殊值，从而使问题具体化、简单化，减少变量个数，找到解题规律，达到求出函数解析式的目的至于给变量赋予怎样的特殊值，则应根据题目的结构特征来确定(6)理解映射的定义，进一步理解函数的实质两个非空数集间的一种映射认识我的“三古怪”映射我叫映射，是两个集合间元素与元素的对应关系我本身由三部分构成，即“原象的集合A”、“象
12、的集合B”和“从集合A到集合B的对应关系f”我的脾气有点古怪，下面介绍一下我自己例7 判断下列对应是否是集合A到集合B的映射(1)已知集合A1,2,3,4，且集合B3,4,5,6,7,8,9，对应关系为f：x2x1；(2)集合AZ，BN*，对应关系f：ab(a1)2；(3)已知集合A0,1,2,4，集合B1,4,9,25，f：ab(a1)2.分析判断对应是否是集合A到集合B的映射，首先应看集合A的原象是否都在集合B内有且仅有唯一的象解(1)A1,2,3,4的元素在对应关系f：x2x1的作用下在B3,4,5,6,7,8,9中都能找到唯一的象，故此对应为映射同理可知(3)也是映射(2)中集合AZ的
13、元素“1”在集合BN*中找不到象，故不是映射点评同学们在判断两个集合间的对应关系是不是映射时，首先得看清原象集合中的元素，在对应关系f的作用下是否都有象，再看原象所对应的象是否唯一例8 判断下列对应是否是映射，有没有对应关系，并说明理由分析这是一道图表信息题要判断对应是不是映射，先要弄清图中传达的信息解图(1)中元素b有两个象，故不是映射；图(2)中元素d没有象，故不是映射；而图(3)中元素d是象，它可以没有原象，故是映射图(3)给出的对应有对应关系，对应关系是用图形表示出来的点评在判断图表信息给出的对应关系是否是映射时，由于对应关系不明显，元素间的对应关系是通过图象反映出来的，做题前应先弄清
14、哪一个是原象的集合，哪一个是象的集合，再进行合理判断例9 集合Mx|0x2，Ny|0y0)在定义域为实数集时适用正解yx22x(x1)21，x1,2由图象知，当1x1时，y随x的增大而减小；当1x2时，y随x的增大而增大并且当x1时，y取最大值3；当x1时，y取最小值1.从而知1y3，即函数yx22x，x1,2的值域是1,3.函数解析式求解的常用方法一、换元法例1 已知f(1)x2，求f(x)分析采用整体思想，可把f(1)中的“1”看做一个整体，然后采用另一参数替代解令t1，则x(t1)2(t1)，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t21.f(x)x21(x1)点评将接受对象“1”换作另一
15、个元素(字母)“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便求出关于“t”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的表达式此法是求函数解析式时常用的方法二、待定系数法例2 已知f(x)为二次函数，且f(x1)f(x1)2x24x，求f(x)的表达式解设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x1)f(x1)a(x1)2b(x1)ca(x1)2b(x1)c2ax22bx2a2c2x24x.故有解得所以f(x)x22x1.点评若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数三、方程消元法例3 已知：2f(x)f()3x，x0，求f
16、(x)解2f(x)f()3x，用去代换式中的x得2f()f(x).由2得f(x)2x，x0.点评方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的四、赋值法例4 设f(x)是R上的函数，且满足f(0)1，并且对任意实数x，y，有f(xy)f(x)y(2xy1)，求f(x)的表达式解令xy得f(0)f(x)x(2xx1)1，所以f(x)x2x1.点评有些函数的性质是用条件恒等式给出的，有时可以通过赋值法使问题得以解决分段函数题型归纳有些函数在其定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，
17、所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几条线段而分段函数的值域也是各部分上的函数值的取值集合的并集，最好的求解办法是“图象法”重要的是，分段函数虽由几部分构成，但它代表的是一个函数解决分段函数问题的基本思想是“分段归类”，即自变量在哪一段就充分利用这一段的函数解析式来分析解决问题既要紧扣“分段”特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化一、分段函数的求值例5 已知函数f(x)则fff(2)_.解析21，f(2)2(2)31.又111，ff(2)f(1)(1)21.又111，fff(2)f(1)121.答案1点评求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值
18、在定义域的哪个子区间，然后用与这个子区间相对应的关系式求函数值二、求分段函数的解析式例6 已知函数f(x)求f(x1)解当x10即x1时，f(x1)；当x10即x1时，f(x1)(x1)2.所以f(x1)三、分段函数的图象例7 函数f(x)x的图象是()解析因为f(x)x故选C.答案C点评本例为已知函数的解析式，确定选择分段函数的图象问题四、分段函数的实际应用例8 从甲同学家到乙同学家的中途有一个公园，甲、乙两家到该公园的距离都是2 km，甲10点钟出发前往乙家，如图所示表示甲从自家出发到乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分钟)的关系依图象回答下列问题：(1)甲在公园休息了吗？若休息了，休
19、息了多长时间？(2)甲到达乙家是几点钟？(3)写出函数yf(x)的解析式解(1)由图所知，甲在公园休息了，休息了10分钟(2)甲到达乙家是11点(3)函数yf(x)是分段函数，当0x30时，设yk1x，将(30,2)代入，得k1.当30x40时，y2.当40，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水量的一半A中V0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()解析依据题意，小王两段路程的速度是不一致的，前者速度要大些，且前者与后者的速度比为32，因此前者图象倾斜程度要大些
20、此外，由于y表示的是路程，不是位移，因此选D.答案D点评近几年的高考试题和高考模拟试题加大了对跨学科知识的考查，其中物理类题型最为多见解决这类试题时，可结合物理中的相关知识来加以解答如本题，由于往返所用时间是不一致的，因此速度也是不一致的，且前者与后者的速度比为32，更为重要的是路程与位移的区别变式拓展2 某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()解析由速度快慢知图中直线的倾斜程度答案D赋值法解抽象函数求值题所谓抽象函数问题，往往指的是没有给出具体的函数解析式，而是以方程形式出现的函数问题，由于函数解析式隐
21、含在方程中，对于一些求值问题不像给出具体解析式的函数那样，直接将值代入函数解析式中求解，因而需另寻他法，其中赋值法能较好地处理这一类问题例15 已知函数对任意的实数a，b，都有f(ab)f(a)f(b)成立(1)求f(0)，f(1)的值；(2)求证：f()f(x)0(x0)；(3)若f(2)m，f(3)n(m，n均为常数)，求f(36)的值分析通过函数解析式求f(0)，f(1)显然是不现实的，因为题设给我们提供的只有一个函数方程f(ab)f(a)f(b)，因此需通过题设中一般性的结论去思考特殊的值0和1，然后通过解方程获解(1)解不妨设ab0，则应有f(00)f(0)f(0)，从而得f(0)0
22、.设ab1，则应有f(11)f(1)f(1)，f(1)0.(2)证明当x0时，注意到x1，于是f(1)f(x)f(x)f()，而f(1)0，所以f()f(x)0(x0)(3)解题设中有f(2)m，f(3)n，因此需将36转化，注意到362232，因此f(36)f(2232)f(22)f(32)f(22)f(33)f(2)f(2)f(3)f(3)2f(2)2f(3)2(mn)点评对于抽象函数求值问题，可根据方程特点合理赋值，进而得到与之有关的方程，解这个方程便可得到相应的函数值例16 已知a，bN*，f(ab)f(a)f(b)，f(1)2，则_.解析令ax，b1，则由f(ab)f(a)f(b)，
23、f(1)2，可得f(x1)f(1)f(x)2f(x)，即2，分别令x1,2,3，2 010，则22222 01024 020.答案4 020点评要求和，显然不能一个个代进去，可考虑更一般的结论，注意到分子分母中自变量差为1，因此考虑f(x1)与f(x)之间的关系.函数概念及表示如何考？1(全国高考)函数y的定义域为()Ax|x0 Bx|x1Cx|x10 Dx|0x1解析要使函数有意义，需解得函数的定义域为x|x10答案C2(江西高考)若函数yf(x)的定义域是0,2，则函数g(x)的定义域是()A0,1 B0,1)C0,1)(1,4 D(0,1)解析yf(x)的定义域是0,2，要使g(x)有意
24、义，需0x0时，f()24，得2.4或2.答案B5(全国高考)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是()解析汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s与t的函数图象上是一条直线减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的，故选A.答案A6(湖北高考)已知函数f(x)x22xa，f(bx)9x26x2，其中xR，a，b为常数，则方程f(axb)0的解集为_解析f(x)x22xa，f(bx)(bx)22bxab2x22bxa9x26x2.则有即f(2x3)(2x3)22(2x3)24x28x50.6480b时，ab0，从而f(ab)1，所以a；当ab时，ab0，从而f(ab)1，所以b，所以(ab)的值为a，b中较大的数故选D.答案D