1、第二节 二次函数与一元二次方程、不等式 必备知识自我排查【基础知识梳理】一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1000(a0)的解集_Rax2bxc0)的解集_x|xx2x|xx1x|x1x0 与 f(x)g(x)0 等价1已知关于 x 的不等式 x2axb0 的解集是(2，3)，则 ab 的值是()A11 B11 C1 D1【解析】选 C.若关于 x 的不等式 x2axb0 的解集是(2，3)，则 2，3 是方程 x2axb0 的根，故 a5，b6，故 ab1.2已知集合 Ax|x22
2、x0，则 AB()A(1，2)B(2，1)C(0，1)D(1，0)【解析】选 C.因为 Ax|0 x2，Bx|x1，所以 ABx|0 x13如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润 y(单位：10 万元)与营运年数 x(xN)为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运()A.3 年 B4 年 C5 年 D6 年【解析】选 C.可设 ya(x6)211，又曲线过(4，7)，所以 7a(46)211，所以 a1.即 yx212x25，所以yx 12x25x 122 25 2，当且仅当 x5 时取等号 4对于实数 x，规定 x表示不大于 x 的
3、最大整数，那么不等式 4 x263 x450 成立的 x 的取值范围是()A.1，15 B2，8 C2，8 D2，15【解析】选 A.不等式 4 x 263 x 450 即为4 x 3 x 15 0，解得34 x 15，则 x 1，2，3，14 ，因此，1x15.5(多选)已知关于 x 的方程 x2m3xm0，下列结论正确的是()A.方程 x2m3xm0 有实数根的充要条件是 mmm9B.方程 x2m3xm0 有一正一负根的充要条件是 mm|m0C.方程 x2m3xm0 有两正实数根的充要条件是 mm|01【解析】选 BCD.在 A 中，由 m324m0 得 m1 或 m9，故 A 错误；在
4、B 中，方程有一正一负根的充要条件是 mm|m0，m0，解得 0m1，故 C 正确；在 D 中，由m3 24m0 得 1m9，又m|1m1 ，故 D 正确 考点突破典例探究 一元二次不等式的解法【典例 1】(1)(2021怀化模拟)设集合 Ax|3x5，Bx|x23x40，则AB()A.Bx|2x5 C.x|4x5 Dx|3x4(2)关于 x 的不等式 x2ax30，解集为(3，1)，则不等式 ax2x30 的解集为()A.(1，2)B(1，2)C.12，1 D32，1 (3)关于 x 的不等式 ax2(a1)x10(a0)的解集为()A.1a，1 B.1，1a C.，1 1a，D.，1a 1
5、，【解析】(1)选 D.Bx|x23x40 x|1x4，所以 ABx|3x5x|1x4x|3x4(2)选 D.由已知 x3，x1 是方程 x2ax30 的两根，可得31a，即 a2，所以不等式为 2x2x30，即(2x3)(x1)0，所以32 x1.(3)选 C.原不等式化为(x1)(ax1)0，因为 a0，因为 a1，所以(x1)x1a 0 的解集为 x1a，即原不等式的解集为(，1)1a，.本例(3)中，若 a0，则结果如何？【解析】(1)当 a0 时，不等式为 x10，解得 x0 时，不等式可化为(x1)x1a 0.对应方程两根为1，1a.当1a 1，即 0a1 时，解得1a x1，即
6、a1 时，解得1x1a.综上，当 a0 时，不等式的解集为(，1)；当 0a1 时，不等式的解集为(1，1a).【规律方法】1解不含参数的一元二次不等式2解含参数的一元二次不等式【对点训练】1已知集合 Mx|x23x280，Nx|x2x60，则 MN 为()A.x|4x2 或 3x7B.x|4x2 或 3x3D.x|x0，所以 Nx|x3，所以 MNx|4x7x|x3x|4x2 或 3x7 2若 0t0 的解集是()A.x1tx1t或xtC.xxtDxtx1t【解析】选 D.因为 0t1，所以1t t.所以(tx)x1t 0(xt)x1t 0tx0 的解集是x|12 x0 的解集是x|12 x
7、13，所以对应方程 ax2bx20 的实数根为12 和13 且 a0，由根与系数的关系得1213ba12132a，解得 a12，b2.所以 ab14.答案：14 4(能力拓展)关于 x 的不等式 x22ax8a20)的解集为(x1，x2)，且 x2x115，则 a()A.52 B72 C154 D152【解析】选 A.因为关于 x 的不等式的解集为(x1，x2)，所以 x1x22a，x1x28a2，又 x2x115，所以(x2x1)2(x2x1)24x2x136a2152，解得 a52，因为 a0，所以 a52.一元二次不等式恒成立问题【典例 2】(1)若不等式 ax22ax40 对 x(1，
8、2)恒成立，则实数 k 的取值范围是()A(，2)B(，2C(2，)D2，)【解析】(1)选 C.不等式 ax22ax42x24x，可化为(a2)x22(a2)x40，当 a20，即 a2 时，不等式恒成立，符合题意；当 a20 时，要使不等式恒成立，需a20，4（a2）244（a2）0，解得2af(1)1kk10，显然不等式恒成立 若k2 2，即 k4 时，函数 f(x)在(1，2)上单调递减，故 f(x)f(2)42kk13k，要使不等式恒成立，则 3k0，解得 k3.这与 k4 矛盾，故此时无解 若 1k2 2，即 2k0，即 k24k40，也就是(k2)20 可化为(1x)k1x2.因
9、为 x(1，2)，所以 k1x21x 1x，因为 y1x 是一个增函数，所以 k112，所以实数 k 的取值范围是(，2.【备选例题】已知函数 f(x)x2ax2，aR.(1)若不等式 f(x)0 的解集为1，2，求不等式 f(x)1x2 的解集；(2)若对于任意的 x1，1，不等式 f(x)2a(x1)4 恒成立，求实数 a 的取值范围；(3)已知 g(x)ax2(a2)x1，若方程 f(x)g(x)在12，3上有解，求实数 a 的取值范围【解析】(1)由 x2ax20 的解集是1，2，可得 x2ax20 有 2 个不等的实根 1 和 2，由根与系数的关系 x1x2a12，可得 a3，此时，
10、f(x)1x2等价于x23x21x2，即 2x23x10，解得 x1 或 x12.所以不等式 f(x)1x2的解集是xx1或x12.(2)对于任意的 x1，1，不等式 f(x)2a(x1)4 恒成立，即 x2ax2a20 对任意的 x1，1恒成立，因为二次函数 yx2ax2a2 图象开口向上，最大值在 x1 或 x1 处取得，所以只需满足1a2a201a2a20 ，解得：a1a13，据此可得 a13；综上可得，实数 a 的取值范围是：aa13.(3)若方程 f(x)g(x)在12，3 上有解，可得到(a1)x22x10 在12，3 上有实数根 参数分离得 a11x2 2x，x12，3 ，则1x
11、 13，2 ，结合二次函数的性质可得1x2 2x 1，0)，所以 a11，0)，即 0a1.综上可得，实数 a 的取值范围是：a|0a1 【规律方法】形如 f(x)0(f(x)0)恒成立问题的求解策略(1)对 xR 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解(2)对 xa，b的不等式确定参数的范围时，根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于 0，从而求出参数的范围；数形结合，利用二次函数在端点 a，b 处的取值特点确定不等式参数的取值范围(3)已知参数 ma，b的不等式确定 x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数提
12、醒：解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数【对点训练】1.若不等式 2kx2kx38 0 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为_【解析】当 k0 时，38 0，满足题意；当 k0 时，则k0，0，即k0，k242k380，解得3k0，综上3k0.答案：30 对 x12，恒成立，则 a 的取值范围为_【解析】由题意，不等式 ax22x10 对 x(12，)恒成立，即 a2x 1x2 恒成立，设 f(x)2x 1x2 1x1 2 1，由 x12，可得1x(0，2)，所以 f(x)maxf(1)1，即 a1，所以 a 的取值范围为(1，).答案：(1，)设函数 f(x)mx2mx1，若
13、对于任意 x1，3，f(x)m4 恒成立，则实数 m 的取值范围为_设函数 f(x)mx2mx1，若对于任意 m1，3，f(x)m4 恒成立，则实数 x 的取值范围为_【解析】由题意 f(x)m4 可得 m(x2x1)5.因为当 x1，3时 x2x11，7，所以不等式 f(x)m4 等价于 m5x2x1.因为当 x3 时5x2x1 的最小值为57，所以若要不等式 m5x2x1 恒成立，则 m57，所以实数 m 的取值范围为，57 .不等式 f(x)m4，即 mx2mxm50.记 p(m)mx2mxm5(x2x1)m5.显然，函数 yp(m)(m1，3)的图象是一条线段，由不等式恒成立可得p（1
14、）0p（3）0 ，即x2x403x23x20 ，也就是x2x4x2x23，故不等式组等价于 x2x23 0，解得3 336 x3 336.所以实数 x 的取值范围为3 336，3 336.答案：，57 3 336，3 336 【点拨】两道题都是由不等式在指定区间内恒成立求参数取值范围问题，而已知的变量不同，解决此类问题的基本思路就是知哪个变量的取值范围，就构造关于该变量的函数，进而利用函数的最值，结合函数的性质求解利用“三个二次”之间的关系解题【典例 3】若函数 f(x)(m2)x2mx2m1 的两个零点分别在区间(1，0)和区间(1，2)内，则 m 的取值范围是_【解析】依题意，结合函数 f(x)的图象(图略)分析可知，m 需满足m2，f（1）f（0）0，f（1）f（2）0，即m2，（m2m2m1）（2m1）0，（m2m2m1）4（m2）2m2m10，解得14 m12.答案：14，12
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