1、第二节 函数的单调性与最值 必备知识自我排查【基础知识梳理】1.增函数、减函数 增函数 减函数 定 义 设函数f(x)的定义域为I,区间DI:如果x1,x2D 当x1x2时,都有_,那么就称函数f(x)在区间D上 单调递增 当x1x2时,都有_,那 么就称函数f(x)在区间D上单调 递减 图 象 描 述 自左向右看图象是_的 自左向右看图象是_的 f(x1)f(x2)上升 下降【微提示】增函数与减函数形式的等价变形(1)x1，x2D且x1x2，则(x1x2)f(x1)f(x2)0 0f(x)在D上单调递增；(2)x1，x2D且x1x2，则(x1x2)f(x1)f(x2)0 0”的是()Af(x
2、)2x Bf(x)3x1Cf(x)x24x3 Df(x)x1x(2)函数 f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A(，2)B(，1)C(1，)D(4，)(3)(一题多解)试讨论函数 f(x)axx1(a0)在(1，1)上的单调性【解析】(1)选 C.对任意 x1，x2(0，)，都有f（x1）f（x2）x1x20，则 f(x)在(0，)上单调递增，A 中，f(x)2x 在(0，)上单调递减，B 中，f(x)3x1 在(0，)上单调递减，C 中，f(x)x24x3 在(0，)上单调递增，D 中，f(x)x1x 在(0，)上先减后增(2)选 D.函数有意义，则 x22x80，解得：x4，结合
3、二次函数的单调性和复合函数同增异减的原则，可得函数的单调递增区间为(4，).(3)方法一：(定义法)设1x1x21，f(x)ax11x1a1 1x1，则 f(x1)f(x2)a11x11a11x21a（x2x1）（x11）（x21）.由于1x1x20，x110，x210 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1，1)上单调递减；当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0 时，f(x)0，函数 f(x)在(1，1)上单调递减；当 a0，函数 f(x)在(1，1)上单调递增 求函数 y|x22x1|的单调区间求函数 f(x)x22|x|1 的单调区间【
4、解析】函数 y|x22x1|的图象如图所示由图象可知，函数 y|x22x1|的单调递增区间为1 2，1)和1 2，)；单调递减区间为(，1 2)和1，1 2).易知 f(x)x22x1，x0，x22x1，x0（x1）22，x0，（x1）22，x0.画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(，1)和0，1)，单调递减区间为1，0)和1，).【点拨】两个函数的图象都是由函数 yx22x1 的图象变换得到的的变换方法是将函数图象在 x 轴下方的部分翻折到上方；中保留 y 轴右侧图象，在左侧作出对称图象【规律方法】判断函数单调性常用的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形(因式分解、配方、有理化、通分
5、)、定号、下结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数(3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性(4)导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性【对点训练】1函数 y|x|(1x)在区间 A 上单调递增，那么区间 A 可能是()A(，0)B0，12C0，)D12，【解析】选 B.y|x|(1x)x（1x），x0，x（1x），x0，x2x，x0，x2x，x0 x12214，x0，x12214，x0，0，x0，1，x1，0，x1，x2，x1，若 f(x)的最小值为 f(1)，则实数 a 的值不可能是()
6、A1 B2 C3 D4(3)(一题多解)函数 yx21x21 的值域为_【解析】(1)选 D.因为函数 f(x)的定义域为，12，设 t 12x，则 t0，且 x1t22，所以 f(x)g(t)1t22t12 t2t1212(t1)21，t0，所以 g(t)g(1)，即 g(t)1，所以函数 f(x)的最大值为 1，无最小值(2)选 A.当 a1 时，f(x)x22x8，x1，x4x1，x1，则当 x1 时，f(x)(x1)277f(1)；当 x1 时，f(x)x4x 12 4 15，当且仅当 x2 时取等号；综上，函数的最小值为 f(2)，不合题意；结合单项选择的特征可知，实数 a 的值不可
7、能为 1.(3)方法一：由 yx21x21，可得 x21y1y，由 x20，知1y1y 0，解得1y1，故所求函数的值域为1，1).方法二：yx212x2112x21.因为 02x21 2，所以1y1.答案：1，1)【结论通通用短平快】结论：若函数 f(x)，g(x)在区间 I 上具有单调性，则在区间 I 上具有以下性质：当 f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)g(x)是增(减)函数【典例】已知函数 f(x)axloga x(a0，且 a1)在1，2上的最大值与最小值之和为loga26，则 a 的值为()A12 B14 C2 D4【解析】选 C.f(x)axlogax 在1，2上是单
8、调函数，所以 f(1)f(2)loga26，即 aloga1a2loga2loga26，即(a2)(a3)0，又 a0，所以 a2.【小练】(2020郑州调研)函数 f(x)x 1x2 在 x1，4上的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm_.【解析】易知 f(x)x 1x2 在1，4上是增函数，所以 Mf(x)maxf(4)2 116 3116，mf(1)0，因此 Mm3116.答案：3116【规律方法】求函数值域或最值的常用方法(1)先确定函数的单调性，再由单调性求值域或最值(2)图象法：先作出函数在给定区间上的图象，再观察其最高点、最低点，求出值域或最值(3)配方法：对于二次函数或可化为二
9、次函数形式的函数，可用配方法求解(4)换元法：对比较复杂的函数，可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正、二定、三相等”的条件后，再用基本不等式求出值域或最值(6)导数法：首先求导，然后求在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出值域或最值 【知识拓展】有些分式型函数的值域，利用单纯的代数或三角方法不易求出，我们可考虑用几何法，把函数的值域问题转化为直线斜率(或截距)的范围问题，结合图形解答如下例求函数 ysin x1x1，x2，的值域【解析】函数 ysin x1x1的值域可看作由点 A(x，sin x)，B(1，1)确定的斜率，B
10、(1，1)是定点，A(x，sin x)在曲线 ysin x，x2，上，如图，所以 kBPykBQ，即 11 y 42.【对点训练】1设函数 f()x x，则函数 f()x1f2()x的最大值为()A12 B12 C34 D1【解析】选 C.令 yf(x1)f2(x).因为 f()x1f2()x x1 x，令 x1 t()t0，则 x1t2，所以 yt2t1t12234，当 t12 时，函数取得最大值34.2函数 y3x1x2 的值域为_【解析】y3x1x2 3（x2）7x23 7x2，因为 7x2 0，所以 3 7x2 3，所以函数 y3x1x2 的值域为y|y3答案：y|y33(能力拓展)(
11、2021长沙雅礼中学模拟)已知函数 f(x)2x2 62x.(1)求 f(x)的定义域；(2)求 f(x)的值域【解析】(1)由2x20，62x0，得 f(x)的定义域为1，3.(2)易知 f(x)0，又f(x)22x22（2x2）（62x）62x42 4x216x12 44（x2）21，x2 时，(x2)21 有最大值 1，x1 或 x3 时，(x2)21 有最小值 0，所以x1，3时，易得f(x)24，8，故 f(x)的值域为2，2 2.【加练备选拔高】1定义新运算“”：当 ab 时，aba；当 ab 时，abb2，则函数 f(x)(1x)x(2x)在区间2，2上的最大值等于()A1 B1
12、 C6 D12【解析】选 C.由已知得当2x1 时，f(x)x2，当 10 时，f(x)1.(1)求 f(0)的值，并证明 f(x)在 R 上是单调递增函数；(2)若 f(1)1，解关于 x 的不等式 f(x22x)f(1x)4.【解析】(1)令 xy0，得 f(0)1.在 R 上任取 x1x2，则 x1x20，f(x1x2)1.又 f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以函数 f(x)在 R 上是单调递增函数(2)由 f(1)1，得 f(2)3，f(3)5.由 f(x22x)f(1x)4，得 f(x22x)f(1x)15，即 f(x2x1)f(3)，又函数 f(
13、x)在 R 上是单调递增函数，故 x2x13，解得 x1，故原不等式的解集为x|x1 典例 4 中，函数 f(x)满足的条件改为“定义域为(0，)，fx1x2f(x1)f(x2)，当x1 时，f(x)f(2x)的解集【解析】(1)令 x1x20，代入得 f(1)f(x1)f(x1)0，故 f(1)0.(2)任取 x1，x2(0，)，且 x1x2，则x1x2 1，由于当 x1 时，f(x)0，所以 fx1x20，即 f(x1)f(x2)0，因此 f(x1)f(2x)等价于2x102x02x12x，解得12 x13，故原不等式的解集为x|12 x13 【通法】求解含“f”的不等式，应先将不等式转化
14、为 f(m)0 时，由 f(x)在(4，2)上是增函数，得a0，2（a1）a4，解得 0a1.当 a0 时，由 f(x)在(4，2)上是增函数，得a0，2（a1）a2，解得12 a0.综上所述12 a1.答案：12，1【通法】利用单调性求参数时，应根据问题的具体情况，确定函数的单调区间，列出与参数有关的不等式，或把参数分离出来求解题组集训1函数 f(x)是 R 上的减函数，若 af(213)，bf(log32)，cflog213，则()Aabc BbacCacb Dcb201，所以 213 1，因为 0log32log331，所以 0log321，log213 log32log213，因为 f
15、()x是 R 上的减函数，所以 ab1）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是()A3a0 B3a2Ca2 Da1）是 R 上的增函数，设 g(x)x2ax5(x1)，h(x)ax(x1)，由分段函数的性质可知，函数 g(x)x2ax5 在(，1 上单调递增，函数 h(x)ax 在(1，)上单调递增，且 g(1)h()1 ，所以a21，a0，a6a，所以a2，a0，a3，解得3a2.3(2021济南模拟)已知函数 f(x)x22x1，x1|x1|，x1，若 f(a24)f(3a)，则实数 a的取值范围是()A(4，1)B(，4)(1，)C(1，4)D(，1)(4，)【解析】选 D.由分段函数
16、的性质可知 f(x)x22x1，x1，x1，x1，f(x)在 R 上单调递增，若 f(a24)f(3a)，则 a243a，解可得，a4 或 a1.4(考查形式创新定义新运算)对任意实数 a，b 定义运算“”，abb，ab，a，ab，设 f(x)(|2x2|)(4|x|)，则下列四个说法：(1)f(x)的最大值为 2；(2)f(x)有 3 个单调递减区间；(3)f(x)在32，1上是减函数；(4)f(x)的图象与直线 ym 有四个交点，则 0mf(m)f(n)成立，那么下列不等式成立的是()Amn0 Bmn0Cmn0 Dmn0【解析】选 A.设 F(x)f(x)f(x)，由于 f(x)是 R 上
17、的减函数，所以 f(x)是 R 上的增函数，f(x)是 R 上的减函数，所以 F(x)是 R 上的减函数，所以当 mn 时，有F(m)F(n)，即 f(m)f(m)f(n)f(n)成立因此，当 f(m)f(n)f(m)f(n)成立时，不等式 mn0 一定成立 【加练备选拔高】(2021北京模拟)函数 yf(x)，x1，)，数列an满足 anf(n)，nN*，函数 f(x)是增函数；数列an是递增数列写出一个满足的函数 f(x)的解析式_写出一个满足但不满足的函数 f(x)的解析式_【解析】由题意可知：在 x1，)上是增函数的函数有许多，可写为：f(x)x2.第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为：f(x)x432.则这个函数在1，43上单调递减，在43，上单调递增，所以 f(x)x432在1，)上不是增函数，不满足.而对应的数列为：ann432在 nN*上越来越大，属递增数列答案：(答案不唯一)f(x)x2 f(x)x432
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