1、四川省泸县第二中学2019-2020学年高二数学下学期期末模拟考试试题 理（含解析）第卷 选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 复数（ ）A. 2B. -2C. 2iD. -2i【答案】B【解析】【分析】根据复数乘法的运算法则及虚数单位的意义，即可求出答案【详解】i（1+i）2i2i2故选B【点睛】本题考查了复数代数形式乘除运算，属于基础题.2. 已知命题,；命题若，则，下列命题为真命题的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：命题p：x0，ln（x+1）0，则命题p为真命题，则p为假命题；取a=1，b=2，ab
2、，但a2b2，则命题q假命题，则q是真命题pq是假命题，pq是真命题，pq是假命题，pq是假命题故选B3. 若，则下列结论中不恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析两数可以是满足，任意数，利用特殊值法即可得到正确选项详解：若，不妨设a 代入各个选项，错误的是A、B，当 时，C错故选D点睛：利用特殊值法验证一些式子错误是有效的方法，属于基础题4. 已知函数，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出函数的导函数，再求.【详解】，故，故选B.【点睛】本题考察导数的运算，属于基础题.注意与的差别，前者表示函数在的导数，后者表示的导数，它是.5. 若双曲线的
3、一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】由垂直关系得出渐近线的斜率，再转化为离心率的方程即可【详解】双曲线的一条渐近线与直线垂直，故选A【点睛】本题考查双曲线的渐近线，掌握两直线垂直的充要条件是解题基础6. 如果随机变量,且,则等于( )A. 0.021 5B. 0.723C. 0.215D. 0.64【答案】A【解析】【分析】由题意可得，再根据正态分布的三个常用数据，即可得出结果.【详解】由随机变量,且，可得，又,所以故.【点睛】本题主要考查正态分布，由正态分布的三个常用数据即可求解，属于基础题型.7. 的展开式中的系数为（ ）A
4、B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意首先确定展开式的通项公式，然后结合通项公式即可确定的系数.详解：展开式的通项公式为，当时，当时，据此可得：的系数为.本题选择C选项.点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项8. 某校周五的课程表设计中，要求安排8节课（上午4节下午4节），分别安排语文数学英语物理化学生物政治历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后
5、一节，数学和英语在安排时必须相邻（注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻），则周五的课程顺序的编排方法共有（ ）A. 4800种B. 2400种C. 1200种D. 240种【答案】B【解析】【分析】先安排生物有，接着安排相邻的数学和英语有5种相邻形式，故有，最后安排其它5节课有，根据分步乘法原理，即可求解结论【详解】分步排列，第一步：因为由题意知生物只能出现在第一节或最后一节，所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置把生物安排，有种编排方法；第二步因为数学和英语在安排时必须相邻，注意数学和英语之间还有一个排列有种编排方法；第三步：剩下的5节课安排5科课程，有种编排方法根据分步计数原理知共
6、有种编排方法故选：B【点睛】本题考查排列和分步乘法原理的应用，限制条件优先考虑，属于中档题.9. 已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值是（ ）A. B. C. 或D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】根据为偶函数及可得，再由对称中心可得，结合函数的单调性可得的值.【详解】由是偶函数，得，即，所以对任意都成立，且，所以得依题设，所以解得，故.因为的图象关于点对称，.所以.又在区间上是单调函数，所以，故.故或.故选：C【点睛】一般地，我们研究的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中
7、心（也就是整体法），对于含参数的此类函数的单调性问题，我们可借助图象特征把参数的范围归结为周期的范围问题，必要时需结合函数单调区间的一般形式来讨论（基本方法）.10. 某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似最强大脑的PK赛，两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，比赛四局.除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先确定A队的得分高于B队的得分的情况，再分类讨论利用独立事件乘法公式求对应情况的概率，最
8、后根据加法计数原理求结果.【详解】A队的得分高于B队的得分的情况有三种：A队的得分为5分，A队的得分为4分，A队的得分为3分.当A队的得分为5分时，概率为当A队的得分为4分时，概率为当A队的得分为3分时，概率为因此所求概率为故选：C【点睛】本题考查独立事件乘法公式、分类加法计数原理，考查基本分析求解能力，属基础题.11. 已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右支分别交于点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先设，根据双曲线的定义可知表示，中，用余弦定理表示，再表示面积求比值.【详解】根据双曲线的定义可知，设 ，则， ， ，中， ，.故选：B【点睛】本题
9、考查双曲线的定义和余弦定理解三角形的综合问题，主要考查转化与化归和计算能力，属于中档题型，本题的关键是设，两次用双曲线的定义表示和.12. 已知函数的零点为，且，那么下列关系一定不成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】可先分析函数的单调性，然后结合草图即可得出结论.【详解】由题可得：定义域为：，令当x0时0恒成立，故f（x）在单调递增，又函数的零点为，故为唯一零点，再由，且，可得两种情况：，故A、B正确，或 故C正确，故选D.【点睛】考查导函数的单调性求法，考查学生对函数的分析能力和数形结合能力，能正确分析原函数的单调性是解题关键，属于中档题.第卷 非选择题二、填空题
10、：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 一组样本数据10，23，12，5，9，21，22的平均数为16，中位数为21，则_【答案】0【解析】【分析】由平均数的求解，即可求得的关系式，根据中位数的大小，即可容易求得，则问题得解.【详解】数据的平均数为16，且数据的中位数为21，故答案为：.【点睛】本题考查一组数据的平均数和中位数的求解，属基础题.14. 已知函数，则曲线在点处切线的倾斜角的余弦值为_【答案】【解析】 因为，所以，所以，即，且，则， 所以曲线在点处的切线的倾斜角的余弦值为.15. 已知实数，满足则的取值范围为_.【答案】【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示，表示可行域内的
11、点与点连线的斜率由图形知，结合图形可得或，故的取值范围为答案：点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形16. 设函数，函数，若对于任意的，总存在，使得，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m的取值范围.【详解】由题意可知，在上的最小值
12、大于在上的最小值.，当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增.，即函数在上的最小值为-1.函数为直线，当时，显然不符合题意；当时，在上单调递增，的最小值为，则，与矛盾；当时，在上单调递减，的最小值为，则，即，符合题意.故实数m的取值范围是.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题.三解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. 2019年初，某高级中学教务处为了解该高级中学学生的作文水平，从该高级中学学生某
13、次考试成绩中按文科、理科用分层抽样方法抽取人的成绩作为样本，得到成绩频率分布直方图如图所示，参考的文科生与理科生人数之比为，成绩（单位：分）分布在的范围内且将成绩（单位：分）分为，六个部分，规定成绩分数在分以及分以上的作文被评为“优秀作文”，成绩分数在50分以下的作文被评为“非优秀作文”.（1）求实数的值；（2）（i）完成下面列联表；文科生/人理科生/人合计优秀作文6_非优秀作文_合计_400（ii）以样本数据研究学生的作文水平，能否在犯错误的概率不超过的情况下认为获得“优秀作文”与学生的“文理科“有关？注：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.
14、7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1），（2）（i）填表见解析（ii）在犯错误的概率不超过的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关【解析】【分析】（1）根据频率直方图得到，解得答案.（2）（i）计算人中文科生的数量为，理科生的数量为，完善列联表得到答案.（2）（ii）计算，对比临界值表得到答案.【详解】（1）由频率分布直方图可知，因为，所以，解得，所以，.即，.（2）（i）获奖的人数为人，因为参考的文科生与理科生人数之比为，所以人中文科生的数量为，理科生的数量为.由表可知，获奖的文科生有人，所以获奖的理科生有人，不获奖的文科生有人，不获奖的理科
15、生有.于是可以得到列联表如下：文科生理科生合计获奖61420不获奖74306380合计80320400（ii）计算；所以在犯错误的概率不超过的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.【点睛】本题考查了频率直方图，列联表，独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.18. 已知函数在处有极值. （1）求函数的单调区间；（2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求的取值范围.【答案】()见解析 () 【解析】【详解】解：（）由题意知：令令的单调递增区间是单调递减区间是（-2，0）（）由（）知，为函数极大值，为极小值函数在区间-3，3上有且公有一个零点，即 ，即的取值范围是19. 如图
16、，在等腰梯形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，M为DF中点.现将四边形BEFC沿EF折起，使平面平面AEFD，得到如图所示的多面体.在图中，（1）证明：；（2）求二面角E-BC-M的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】1推导出，折叠后，从而平面DCF，由此能证明；2以F为坐标原点，分别以FD，FC，FE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值【详解】(1)证明：由题意，在等腰梯形ABCD中，分别为AB，CD的中点， 折叠后，平面DCF， 又平面DCF，； (2)平面平面AEFD，平面平面，且，平面BEFC，CF，EF两两垂直，以F为坐
17、标原点，分别以FD，FC，FE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，0，2，1，2，1，设平面MBC的法向量y，则，取，得,设平面EBC的法向量，则二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查了线线垂直、线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20. 已知椭圆的焦距与短轴长相等,长轴长为,设过右焦点F倾斜角为的直线交椭圆M于A、B两点.(1)求椭圆M的方程；(2)求证:(3)设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C、D,求四边形ABCD面积的最小值.【答案】（1）；（2）详见解析；（3）16【解析】【分析】（1）根据条件可知，再根据，求解方程；
18、（2）分和两种情况求弦长，当时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系， ，代入弦长公式，再根据证明；（3）由题意可知四边形的面积是，根据，代入弦长公式可得，再根据三角函数求函数的最小值.【详解】（1）由题意可知，解得： ，椭圆方程是： ；（2）当时， ，此时，满足 当时，设直线的斜率为， 设直线的方程为，由 得 设 ， ， ， ，代入上式， ，综上可知：.（3）过右焦点且与直线垂直的直线交椭圆于两点， ， ，当时，的最小值是.而四边形的面积是， 四边形的面积的最小值是.【点睛】本题考查了椭圆方程求法和直线和椭圆的位置关系中弦长公式的应用，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型
19、，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.21. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，且，证明.【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）见解析【解析】【试题分析】（）借助导数与和函数的单调性之间的关系分析求解；（）借助题设条件构造函数运用导数知识求解： 解：.(1)当时，令，有或，当或时，；当时，.所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.(2)由于有两个极值点，则有两个不相等的实根，所以，即， ，设，则，在上单调递减，所以，即 .点睛：本题以含参数函数解析式为背景，设置了
20、两个问题，旨在考查导数知识在研究函数的单调性极值（最值）等方面的综合运用求解第一问时，先对函数求导，然后借助导数与和函数的单调性之间的关系求出其单调区间，解答本题的第二问时，先依据题设条件构造目标函数，然后运用导数知识求出其最小值，从而使得问题获解（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线过，倾斜角为（）以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（I）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；（II）已知直线与曲线交于、两点，且，求直线的斜率【答案】（I）（为参数），（II）【解
21、析】【详解】试题分析：（）先求直线的参数方程，结合得，即可得解曲线的直角坐标方程；（），代入得设两点对应的参数分别为与，结合韦达定理，可求，再根据，消去与即可得解.试题解析：（）直线的参数方程为（为参数），由得曲线的直角坐标方程为（）把，代入得设两点对应的参数分别为与，则，易知与异号又消去与得，即23. 已知函数（1）求不等式的解集；（2）若，求证：.【答案】（1） x |3x3（2）见解析【解析】试题分析：（1）利用绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集（2）利用绝对值三角不等式可得|mn|m|n|，再根据m，n取值范围可得|m|3，|n|3，代入即证.试题解析：（）不等式| x2| x2|6可以转化为或或解得3x3 即不等式的解集A x |3x3 （）证明：因为|mn|m|n|m|n|，又因为m，nA，所以|m|3，|n|3所以|m|n|33，当且仅当时，等号成立即|mn|，得证点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
