1、第八节曲线与方程1曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线2求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0.(4)化方程f(x，y)0为最简形式(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上3两曲线的交点设曲线C
2、1的方程为F1(x，y)0，曲线C2的方程为F2(x，y)0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解若此方程组无解，则两曲线无交点1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件()(2)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2y2.()(4)方程y与xy2表示同一曲线()解析由曲线与方程的定义，知(2)，(3)，(4)不正确，只有(1)正确答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知点F，直线l：x，点B是l上的动点若过点B垂直于y轴的直线与线
3、段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A双曲线B椭圆C圆D抛物线D由已知|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线3(2016广州模拟)已知点F(0,1)，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且，则动点P的轨迹C的方程为()Ax24yBy23xCx22yDy24xA设点P(x，y)，则Q(x，1)，(0，y1)(x,2)(x，y1)(x，2)，即2(y1)x22(y1)，整理得x24y，动点P的轨迹C的方程为x24y.故选A.4已知ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|3，则顶点A的轨迹方程为
4、_(x10)2y236(y0)设A(x，y)，则D|CD|3，化简得(x10)2y236，由于A，B，C三点构成三角形，A不能落在x轴上，即y0.5(2017杭州模拟)在ABC中，|4，ABC的内切圆切BC于D点，且|2，则顶点A的轨迹方程为_. 【导学号：51062302】1(x)以BC的中点为原点，中垂线所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点则|BE|BD|，|CD|CF|，|AE|AF|.所以|AB|AC|2，所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y0)，且a，c2，所以b，所以轨迹方程为1(x)直接法求轨迹方程已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的
5、长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程解如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得|O1A|O1M|.2分当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，|O1M|.6分又|O1A|，化简得，y28x(x0).10分当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y28x， 动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.15分规律方法1.如果动点满足的条件是易于用x，y表达的与定点、定直线有关的几何量的等量关系时，等量关系又易于表达成含有x，y的等式，可利用直接法求轨迹方程2运用直接法应注意的问题：(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时
6、就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的(2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略变式训练1已知两点M(1,0)，N(1,0)，且点P使，成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹方程解设点P(x，y)，则(x1，y)，(x1，y)，(2,0).4分故2(x1)，(x1)(x1)y2x2y21，2(x1)2(1x).8分因为，成公差小于零的等差数列，所以2(x2y21)2(x1)2(1x).12分且2(1x)2(x1)4x0)，故点P的轨迹方程为x2y23(x0).15分定义法求轨迹方程如图881所示，已知点C为圆(x)2y24的圆心，点A(，0)P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP
7、所在的直线上，且0，2 .当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程图881解由(x)2y24知圆心C(，0)，半径r2.2分0，2，MQAP，点M为AP的中点，因此QM垂直平分线段AP.6分如图，连接AQ，则|AQ|QP|，|QC|QA|QC|QP|CP|2.又|AC|22.10分根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线.13分由c，a1，得b21，因此点Q的轨迹方程为x2y21.15分迁移探究若将本例中的条件“圆C的方程(x)2y24”改为“圆C的方程(x)2y216”，其他条件不变，求点Q的轨迹方程解由(x)2y216知圆心C(，0)，半径r4.2分0，
8、2 ，QM垂直平分AP，连接AQ，则|AQ|QP|，8分|QC|QA|QC|QP|r4.10分根据椭圆定义，点Q的轨迹是以C(，0)，A(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆.13分由c，a2，得b.因此点Q的轨迹方程为1.15分规律方法1.定义法求轨迹方程，关键是理解解析几何中有关曲线的定义在求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，优化解题过程2利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制变式训练2设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B(
9、1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|EB|为定值；(2)求点E的轨迹方程，并求它的离心率. 【导学号：51062303】解(1)证明：因为|AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.3分又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.6分(2)由圆A方程(x1)2y216，知A(1,0)又B(1,0)因此|AB|2，则|EA|EB|4|AB|.9分由椭圆定义，知点E的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(不含与x轴的交点)，所以a2，c1，则b
10、2a2c23.12分所以点E的轨迹方程为1(y0)故曲线方程的离心率e.15分相关点(代入)法求轨迹方程如图882所示，设P是圆x2y225上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|PD|.图882(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度解(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|PD|，xPx，且yPy.2分P在圆x2y225上，x2225，整理得1，故轨迹C的方程是1.6分(2)过点(3,0)且斜率为的直线l的方程是y(x3)，8分设此直线与C的交点
11、为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程1得：1，化简得x23x80，x1，x2，12分则|AB|.直线被曲线C所截线段的长度为.15分规律方法1.相关点法求轨迹方程，形成轨迹的动点P(x，y)随另一动点Q(x，y)的运动而有规律地运动，而且动点Q的轨迹方程为给定的或容易求得的2“相关点法”的基本步骤：(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程变式训练3(2017舟山模拟)P是椭圆1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原
12、点，有一动点Q满足，则动点Q的轨迹方程是_1作P关于O的对称点M，连接F1M，F2M，则四边形F1PF2M为平行四边形，所以2.又，所以.设Q(x，y)，P(x0，y0)，则x0，且y0，又点P(x0，y0)在椭圆1上，则有1，即1.思想与方法1求轨迹方程的常用方法(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)0.(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程(3)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程(4)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件
13、设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数2曲线的方程与方程的曲线是从两个方面揭示方程与曲线的对应关系，体现数与形的辨证统一易错与防范1求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应的检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是不是同解变形；二是是否符合题目的实际意义2求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等课时分层训练(五十)曲线与方程A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1方程(2x3y1)(1)0表示的曲线是()A两条直线B两条射线C两条线段D一条直线和一条射线D原方程可化为或10，即2x3y10(x3)或x4，故原方程
14、表示的曲线是一条直线和一条射线2(2017台州模拟)已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A2xy10B2xy50C2xy10D2xy50D由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(2x,4y)，代入2xy30，得2xy50.3设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹方程为()Ay22xB(x1)2y24Cy22xD(x1)2y22D如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)连接MA，则MAPA，且|MA|1.又|PA|1，|PM|，则|PM|22，点P的轨迹方程为(
15、x1)2y22.4(2017洛阳模拟)设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点若2，且1，则点P的轨迹方程是() 【导学号：51062304】A.x23y21(x0，y0)B.x23y21(x0，y0)C3x2y21(x0，y0)D3x2y21(x0，y0)A设A(a,0)，B(0，b)，a0，b0.由2，得(x，yb)2(ax，y)，即ax0，b3y0.点Q(x，y)，故由1，得(x，y)(a，b)1，即axby1.将a，b代入axby1，得所求的轨迹方程为x23y21(x0，y0)5平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，
16、B(1,3)，若点C满足1 2(O为原点)，其中1，2R，且121，则点C的轨迹是()A直线B椭圆C圆D双曲线A设C(x，y)，则(x，y)，(3,1)，(1,3)12，又121，x2y50，表示一条直线二、填空题6平面上有三个点A(2，y)，B，C(x，y)，若，则动点C的轨迹方程是_y28x(2，y)，(x，y).，0，0，即y28x.动点C的轨迹方程为y28x.7若点P到直线y1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是_. 【导学号：51062305】x212y由题意可知点P到直线y3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y3为准线的抛物线
17、，且p6，所以其标准方程为x212y.8(2017浙江名校联考)已知双曲线y21的左、右顶点分别为A1，A2，点P(x1，y1)，Q(x1，y1)是双曲线上不同于A1，A2的两个不同的动点，则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为_y21(x0且x)由题设知|x1|，A1(，0)，A2(，0)，则有直线A1P的方程为y(x)，直线A2Q的方程为y(x)，联立，解得x0，且|x|.点P(x1，y1)在双曲线y21上，y1.将代入上式，整理得所求轨迹的方程为y21(x0，且x)三、解答题9如图883所示，动圆C1：x2y2t2,1t3，与椭圆C2：y21相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2
18、的左、右顶点求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程. 【导学号：51062306】图883解由椭圆C2：y21，知A1(3,0)，A2(3,0)，又曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，y0).5分设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y(x3)，直线A2B的方程为y(x3)，由得y2(x29)又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y1.将代入得y21(x3，y0).12分因此点M的轨迹方程为y21(x3，y0).15分10(2017温州模拟)在圆x2y24上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足2，动点M形成的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(
19、2)已知点E(1,0)，若A，B是曲线C上的两个动点，且满足EAEB，求的取值范围解设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)，则点D的坐标为(x0,0)由2，得x0x，y02y.2分因为点P(x0，y0)在圆x2y24上，所以xy4.把x0x，y02y代入方程，得x24y24.所以曲线C的方程为y21.6分(2)因为EAEB，所以0.所以()2.9分设点A(x1，y1)，则y1，即y1.所以2(x11)2yx2x111x2x122.12分因为点A(x1，y1)在曲线C上，所以2x12.所以29，所以的取值范围为.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017金华十校联考)已知
20、两定点A(0，2)，B(0,2)，点P在椭圆1上，且满足|2，则为()A12B12C9D9D由|2，可得点P(x，y)的轨迹是以两定点A，B为焦点的双曲线的上支，且2a2，c2，b.点P的轨迹方程为y21(y1)由解得(x，y2)(x，y2)x2y249449.2(2017浙江杭州一模)设圆C：(xk)2(y2k1)21，则圆心C的轨迹方程是_，若直线l：3xty10被圆C所截得的弦长与k无关，则t_.y2x1设C(x，y)，则xk，y2k1，消去k可得y2x1.故圆心C的轨迹方程是y2x1.直线l：3xty10被圆C所截得的弦长与k无关，则圆心C到直线l的距离为定值，直线l：3xty10与直
21、线y2x1平行，得t.3在平面直角坐标系xOy中，动点P(x，y)到F(0,1)的距离比到直线y2的距离小1.(1)求动点P的轨迹W的方程；(2)过点E(0，4)的直线与轨迹W交于两点A，B，点D是点E关于x轴的对称点，点A关于y轴的对称点为A1，证明：A1，D，B三点共线. 【导学号：51062307】解(1)由题意可得动点P(x，y)到定点F(0,1)的距离和到定直线y1的距离相等，所以动点P的轨迹是以F(0,1)为焦点，以y1为准线的抛物线.5分所以动点P的轨迹W的方程为x24y.6分(2)证明：设直线l的方程为ykx4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A1(x1，y1)由消去y，整理得x24kx160，则16k2640，即|k|2，x1x24k，x1x216，直线A1B：yy2(xx2)，所以y(xx2)y2，10分即y(xx2)x，整理得yxx，即yx.13分直线A1B的方程为yx4，显然直线A1B过点D(0,4)所以A1，D，B三点共线.15分