1、一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合，则 .【答案】0，1【解析】试题分析：，0，1111考点：集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍12.设复数满足（为虚数单位），则的模为 .【答案】考点：复数的模【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概
2、念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3.为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间内的汽车有 辆.【答案】80【解析】试题分析：时速在区间内的汽车有 1考点：频率分布直方图4.若函数的最小正周期为，则的值是 .【答案】考点：三角函数周期【方法点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.5.下图是一个算法的流
3、程图，则输出的值是 .【答案】5考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.1116.设向量，若，则实数的值是 .【答案】4【解析】试题分析：由题意得 1考点：向量平行7.某单位要在四名员工（含甲乙两人）中随机选两名到某地出差，则甲乙两人中，至少有一人被选中的概率是 .【答案】考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的
4、基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.8.在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是 .【答案】1【解析】试题分析：由题意得1考点：双曲线渐近线9.在平面直角坐标系中，若直线与圆心为的圆相交于两点，且为直角三角形，则实数的值是 .【答案】1【解析】试题分析：由题意得到直线距离为，即考点：直线与圆位置关系10.已知圆柱的底面半径为2，高为6，圆锥的底面直径和母线长相等，若圆柱和圆锥的体积相同
5、，则圆锥的高为 .【答案】6考点：圆锥体积【方法点睛】(1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法.(2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.111.各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，则数列的通项公式 .【答案】3n1【解析】试题分析：由题意得考点：等比数列通项公
6、式12.已知函数，当时，的取值范围为，则实数的取值范围是 .【答案】12，8【解析】试题分析：，；由，所以当时，；当时，；当时，；因此实数的取值范围是考点：利用导数研究函数值域【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.13.在中，已知，在上，若，则的长是 .【答案】考点：向量投影【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式ab|a|b|cos ；二是坐标公式abx1x2y1y2；三是利
7、用数量积的几何意义.1(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.14.已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，若存在，使得等式成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析：，所以，所以，所以即实数的取值范围是考点：函数值域【思路点睛】已知方程有解求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解二、解答题 （本大题共6小题，共90
8、分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角和钝角的终边分别与单位圆交于点，若点的横坐标是，点的纵坐标是.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）（1）cos()coscossinsin() 8分（2）sin()sincoscossin() 11分因为为锐角，为钝角，故(，)， 所以 14分考点：三角函数的定义，给值求角【思路点睛】在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数。1 知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围
9、是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好 16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，点分别为线段的中点.（1）求证：平面；（2）若在边上，求证：.【答案】（1）详见解析（2）详见解析考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.117.（本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40的半圆形（以为圆心，为直径）绿化区域，现计划对其进行改建，在的延长线上取点
10、，使，在半圆上选定一点，改建后的绿化区域由扇形区域和三角形区域组成，其面积为，设.（1）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）试问多大时，改建后的绿化区域面积最大.【答案】（1）S1600sinx800x，0x（2）（2）由（1）知，S(x)1600sinx800x，0xS(x)1600cosx8001600(cosx) 8分由S(x)0，解得x从而当0x时，S(x)0；当x时， S(x)0因此S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，)上单调递减 11分所以当x，S(x)取得最大值答：当AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大 14分考点：函数应用，利用导数求最值【方法点睛】利用导数
11、解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f(x)0或f(x)0求单调区间；第二步：解f(x)0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小18.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设.（1）若点的坐标为，且的周长为8，求椭圆的方程；（2）若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）1，5所以椭圆C的方程为 5分（2）方法一：因为PF2x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y00设Q(x1，y1)因为P在椭圆上，所以，解得y0，即P(
12、c，) 7分因为F1(c，0)，所以(2c，)，(x1c，y1)由，得2c(x1c)，y1，解得x1c，y1，所以Q(c，) 11分因为点Q在椭圆上，所以()2e21，即(2)2e2(1e2)2，(243)e221，因为10，所以(3)e21，从而 14分因为e1，所以e2，即5所以的取值范围为1，5 16分考点：椭圆定义，椭圆离心率111【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.119.（本小题满分12
13、分）已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，.求数列的通项公式；是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）an2n1（2）bn，nN*m3，n8【解析】试题分析：（1）先根据等差数列通项公式及求和公式得，解方程组得或（舍去），从而可得an2n1（2）因为，所以利用叠加法可求数列的通项公式bnb1，即bn，nN*由b2，bm，bn成等差数列，得b2bn2bm解出关系：2m7最后根据分数整除性，得只有当n19，即n8时，m3，满足题意试题解析：（1）设数列an的公差为d，则d0由a2a315，S416，得
14、 解得或（舍去）所以an2n1 4分111又b2，bn，bm，所以()2()，即， 化简得：2m7 14分当n13，即n2时，m2，（舍去）；当n19，即n8时，m3，符合题意所以存在正整数m3，n8，使得b2，bm，bn成等差数列 16分考点：等差数列通项公式，裂项相消法求和【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中an是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如(n2)或.20.（本小题满分16分）已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方
15、程；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）当时，记函数的导函数的两个零点是和（），求证：.【答案】（1）2xy20（2）详见解析（3）详见解析（2）因为b2a1，所以f(x)ax2(2a1)xlnx，从而f (x)2ax(2a1)，x0 5分当a0时，x(0，1)时，f (x)0，x(1，)时，f (x)0，所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减 7分当0a时，由f (x)0得0x1或x，由f (x)0得1x，所以f(x)在区间(0，1)和区间(，)上单调递增，在区间(1，)上单调递减当a时，因为f (x)0（当且仅当x1时取等号），所以f(x)在区间(0，)上单调递
16、增当a时，由f (x)0得0x或x1，由f (x)0得x1，所以f(x)在区间(0，)和区间(1，)上单调递增，在区间(，1)上单调递减 10分（3）方法一：因为a1，所以f(x)x2bxlnx，从而f (x) (x0)由题意知，x1，x2是方程2x2bx10的两个根，故x1x2记g(x) 2x2bx1，因为b3，所以g()0，g(1)3b0，所以x1(0，)，x2(1，)，且bxi21 (i1，2) 12分f(x1)f(x2)()(bx1bx2)ln()ln因为x1x2，所以f(x1)f(x2)ln(2)，x2(1，) 14分令t2(2，)，(t)f(x1)f(x2)lnt因为(t)0，所以
17、(t)在区间(2，)单调递增，所以(t)(2)ln2，即f(x1)f(x2)ln2 16分考点：导数几何意义，利用导数研究函数单调性，利用导数证明不等式【思路点睛】导数在不等式问题中的应用问题的常见类型及解题策略(1)利用导数证明不等式。证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)0，由增函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)。(2)利用导数解决不等式的恒成立问题或存在型问题。利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。