1、第四讲一一、选择题1下列命题中能用数学归纳法证明的是()A三角形的内角和为180B(1n)(1nn2n100)1n101(nR)C.(n0)Dcoscos3cos(2n1)(sin0，nN)解析：因为数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，只有D符合要求答案：D2某个命题：(1)当n1时，命题成立(2)假设nk(k1，kN)时成立，可以推出nk2时也成立，则命题对_成立()A正整数B正奇数C正偶数 D都不是解析：由题意知，k1时，k23；k3时，k25，依此类推知，命题对所有正奇数成立答案：B3用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假使n2k1时正确，再
2、推n2k3正确B假使n2k1时正确，再推n2k1正确C假使nk时正确，再推nk1正确D假使nk(k1)时正确，再推nk2时正确(以上kN*)解析：因为是奇数，所以排除C、D，又当kN*时，A中2k1取不到1，所以选B.答案：B4空间中有n个平面，它们中任何两个不平行，任何三个不共线，设k个这样的平面把空间分成f(k)个区域，则k1个平面把空间分成的区域数f(k1)f(k)_.()Ak1 BkCk1 D2k解析：空间中有个平面，它们中任何两个不平行，任何三个不共线，则当nk1时，即增加一个平面，所以与k个平面都相交有k条交线，一条交线把平面分成两部分，所以k条交线把平面分成2k部分；一部分平面又
3、把空间分为两部分，故新增加的空间区域为2k部分答案：D二、填空题5用数学归纳法证明coscos3cos(2n1)sincos(n，nN)，在验证n1等式成立时，左边计算所得的项是_解析：由等式的特点知，当n1时，左边从第一项起，一直加到cos(2n1).答案：cos6用数学归纳法证明n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2，从nk到nk1一步时，等式左边应增添的式子是_解析：等式左边从k到k1需增加的代数式可以先写出nk时两边，再将式子中的n用k1来代入，得出nk1时的等式，然后比较两式，得出需增添的式子是(3k1)3k(3k1)k.答案：(3k1)3k(3k1)k三、解答题7求证：(n1)(
4、n2)(nn)2n135(2n1)(nN)证明：(1)当n1时，等式左边2，等式右边212，等式成立(2)假设nk(kN)时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)成立那么nk1时，(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)2k1135(2k1)2(k1)1即nk1时等式成立由(1)(2)可知对任何nN等式均成立8用数学归纳法证明：34n252n1能被14整除(nN*)证明：(1)当n1时，3412521136538546114，能被14整除(2)假设当nk时，命题成立，即34k252k1能被14整除，则当nk1时，34(k1)25
5、2(k1)134k652k33434k23452k13452k15252k134(34k252k1)52k1(3452)34(34k252k1)5652k1，由此可知，34(k1)252(k1)1也能被14整除这就是说，当nk1时，命题也成立由(1)(2)可知，对任何nN*,34n252n1能被14整除9有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)n2n2个部分证明：(1)当n1时，即一个圆把平面分成二个部分f(1)2，又n1时，n2n22，命题成立(2)假设nk(k1)时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)k2k2个部分，那么设第k1个圆为O，由题意，它与k个圆中每个圆交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其他k个圆相交于2k个点把O分成2k条弧而每条弧把原区域分成2块，因此这平面的总区域增加2k块，即f(k1)k2k22k(k1)2(k1)2，即nk1时命题成立由(1)(2)可知对任何nN命题均成立