1、第2课时 充 要 条 件基础认知自主学习1.充要条件定义 如果pq且qp，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)记法 _ 读法“p与q等价”“p当且仅当q”集合 观点 如果Ax|p(x)，Bx|q(x)且AB，则_ 结论 一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个充要条件 pq p(x)q(x)符号“”的含义是什么？提示：“”表示“等价”，如“A 与 B 等价”指的是“如果 A，那么 B”，同时有“如果 B，那么 A”，或者说“从 A 推出 B”，同时可“从 B 推出 A”2充分性、必要性的其他情况推出关系 充分性、必要性 pq且q p p是q的_ P q且qp p是q的_ P q且q
2、p p是q的既不充分 也不必要条件 充分不必要条件必要不充分条件1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立()提示：当p是q的充要条件时，pq，且qp，故说成q成立当且仅当p成立，这种说法正确(2)若p q和q p有一个成立，则p一定不是q的充要条件()提示：若p q或q p，则p不是q的充分条件，或p不是q的必要条件，故此说法正确(3)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件()提示：因为pq，qr，所以pr，所以p是r的充要条件 2若p是r的充分非必要条件，q是s的必要非充分条件，且r是s的充分非必要条件，则p是q的_条件
3、()A充分非必要B必要非充分C充要D既非充分又非必要【解析】选A.因为p是r的充分非必要条件，q是s的必要非充分条件，且r是s的充分非必要条件，即pr，r不能推出p；rs，s不能推出r；sq，q不能推出s；所以pq，q不能推出p，即p是q的充分非必要条件3(教材练习改编)设集合Mx|0 x3，Nx|00.(2)p：a0，q：关于x的方程axb0(a，bR)有唯一解(3)p：ab0，a，bR，q：|ab|a|b|.(4)p：c0，q：yax2bxc(a0)的图像经过原点【思路导引】依据“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”的定义判断【解析】(1)因为由x0推不出
4、x|x|0，如x10，但是x|x|0，所以pq，由x|x|0可得x0，可推出x0，所以qp，所以p是q的必要不充分条件(2)当a0时，关于x的方程axb0(a，bR)有唯一解x，所以pq，若关于x的方程axb0(a，bR)有唯一解，则a0，推不出a0，所以qp，所以p是q的充分不必要条件ba(3)当ab0时，|ab|a|b|成立，所以pq，因为a0时，也有|ab|a|b|，所以qp，所以p是q的充分不必要条件(4)当c0时，函数yax2bxc的图像经过原点；当yax2bxc(a0)的图像经过原点时，0a02b0c，所以c0，所以pq，所以p是q的充要条件 从命题角度判断 p 是 q 的充分必要
5、条件(1)原理：判断 p 是 q 的充分必要条件，主要是判断 pq 及 qp 这两个命题是否成立(2)方法：若 pq 成立，则 p 是 q 的充分条件，同时 q 是 p 的必要条件；若 qp 成立，则 p 是 q 的必要条件，同时 q 是 p 的充分条件；若二者都成立，则 p 与 q 互为充要条件下列各题中，p 是 q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)?(1)p：x23x4，q：x 3x4.【解析】当 x1 时，x23x4 成立，但是 x 3x4 不成立，所以 p q，由 x 3x4 两边平方可得 x23x4，所以 qp，所以 p 是 q
6、的必要不充分条件(2)p：a 是自然数，q：a 是正数【解析】0 是自然数，但是 0 不是正数，所以 p q，1.5 是正数，但是 1.5 不是自然数，所以 q p，所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件(3)p：a1，q：a 的倒数是其本身【解析】倒数是其本身的数有1，所以 q p，且 pq，所以 p 是 q 的充分不必要条件(4)p：点 P(2a，3a2)到两坐标轴距离相等，q：a1 或 a0.【解析】当 a1，点 P(1，1)到两坐标轴距离相等；当 a0，点 P(2，2)到两坐标轴距离相等；当点 P(2a，3a2)到两坐标轴距离相等时，|2a|3a2|，解得 a1 或 a0.所以 pq
7、，所以 p 是 q 的充要条件类型二 充要条件的证明(逻辑推理)【典例】1.求证：关于 x 的方程 ax2bxc0()有一个根为 1 的充要条件是 abc0.【思路导引】从充分性和必要性两个方面证明【证明】因为 abc0，所以 cab，代入方程 ax2bxc0 中，得 ax2bxab0，即(x1)(axab)0.所以方程()有一个根为 1，所以 abc0方程()有一个根为 1.因为方程 ax2bxc0 有一个根为 1，所以 x1 满足方程 ax2bxc0.所以有 a12b1c0，即 abc0.所以方程()有一个根为 1abc0，从而 abc0方程()有一个根为 1，因此 abc0 是方程()有
8、一个根为 1 的充要条件2求证：方程 f()x0 有一根为 1 的充要条件是 f()10.【证明】充分性：当 f()10 时，即 x1 代入 f()x0，等式成立，所以 f()10 是 f()x0 有一根为 1 的充分条件；必要性：当 f()x0 有一根为 1 时，即()1，0为 yf()x与 x 轴的一个交点，所以 f()10，所以 f()10 是 f()x0 有一根为 1 的必要条件，综上所述：方程 f()x0 有一根为 1 的充要条件是 f()10.【思路导引】从充分性和必要性两个方面证明将本例 1 的条件“有一个根为 1”改为“有一个正根和一个负根”，“abc0”改为“ac0”，如何证
9、明？【证明】因为 ac0，所以 b24ac0，方程 ax2bxc0 中有两个不等实根，由根与系数关系可知这两个根的积为ca 0，所以方程 ax2bxc0 有一个正根和一个负根，所以 ac0方程()有一个正根和一个负根因为方程 ax2bxc0 有一个正根和一个负根，由根与系数关系可知这两个根的积为ca 0，所以 ac0.所以方程()有一个正根和一个负根ac0，从而 ac0方程()有一个正根和一个负根，因此 ac0 是方程()有一个正根和一个负根的充要条件 充要条件的证明策略(1)要证明一个条件 p 是 q 的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若 p，则 q”为真且“若
10、q，则 p”为真(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明 p 与 q 的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向求证：关于 x 的方程 x2mx10 有两个负实数根的充要条件是 m2.【证明】(1)充分性：因为 m2，所以 m240，所以方程 x2mx10 有实根，设两根为 x1，x2，由根与系数的关系知，x1x210，所以 x1，x2 同号又x1x2m20，所以 x1，x2 同为负数即 x2mx10 有两个负实根的充分条件是 m2；(2)必要性：因为 x2mx10 有两个负实根，设其为 x
11、1，x2，且 x1x21，所以m240，x1x2m0，所以 m2，即 x2mx10 有两个负实根的必要条件是 m2.综上可知，m2 是 x2mx10 有两个负实根的充分必要条件类型三 用集合观点解充分条件、必要条件问题(数学运算)【典例】1.已知 p：点 M(1a，2a6)在第四象限，q：a1，则 p 是 q 的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【思路导引】第四象限内的点横坐标大于 0，纵坐标小于 0.依据“小范围”推“大范围”，“大范围”推不出“小范围”判断【解析】选 A.因为点 M(1a，2a6)在第四象限，所以1a0，2a60，解得 a3.因为(，3)(
12、，1)，所以 pq，q p，所以 p 是 q 的充分不必要条件2已知 p：x|1x3，q：x|1xm1，若 q 是 p 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是_.【思路导引】利用必要不充分条件与集合间的包含关系，建立关于 m 的不等式，求 m 的取值范围【解析】由题意，p：x|1x3，q：x|1x3，解得 m2，即实数 m 的取值范围是(2，).答案：(2，)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若 A B，则 p 是 q 的充分条件，若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件 若 B A，则 p 是 q 的必要条件，若 B A，则 p 是 q 的必要不充分条件 若 AB，则 p，
13、q 互为充要条件 若 AB 且 BA，则 p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 其中 p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立(1)已知 p：2x10，q：1mx1m(m0)，且 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围为_.【解析】因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 pq 且 q p即x|2x10是x|1mx1m，m0的真子集，所以m0，1m2，1m10或1m2，m0，1m10，解得 m9.所以实数 m 的取值范围为m|m9(2)已知 p：2x10，q：1mx1m(m0)，且 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围为_.【解析】因为 p 是
14、 q 的必要不充分条件，所以 qp，且 p q.则x|1mx1m，m0 x|2x10，所以m0，1m2，1m10解得 0m3.经检验符合题意即 m 的取值范围是(0，3.答案：(1)m|m9 (2)(0，3(2021菏泽高一检测)若不等式 1x3 的必要不充分条件是 m2xm2，则实数m 的取值范围是()A1，2 B1，3C(1，2)D(1，3)【解析】选 B.设 Ax|1x3，Bx|m2xm2，因为不等式 1x3 的必要不充分条件是 m2x0 Bb24ac0Ca0，b24ac0 Da0，b24ac0，b24ac0.3函数 ykxb 的图像经过第一、二、三象限的充要条件是_【解析】函数 ykx
15、b 的图像经过第一、二、三象限的充要条件是 k0，b0.答案：k0，b04下列各题中，p 是 q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)?(1)p：xy，q：xa ya.【解析】当 a0 时，xy xa ya；xa ya xy，所以 p 是 q 的必要不充分条件(2)p：12，q：1 与2 是对顶角【解析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，所以 p q，且 qp，所以 p 是q 的必要不充分条件(3)p：反比例函数 ym5x的图像在第二、四象限，q：m5【解析】反比例函数 ym5x的图像在第二、四象限m50m5，所以 p 是q 的充要条件(4)p：a1，q：a1a.【解析】当 a1 时，a1a a21a（a1）（a1）a0，所以 a1a，所以 pq，当 a12 时，a1a，所以 q p，所以 p 是 q 的充分不必要条件
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