1、2*2*222221.1()1111 1()11(1)132(32)(2)(2)111ABCnnnnNnnk kNkkknkkkkkkkkkknk 对于不等式，某学生证明过程如下：当时，不等式成立；假设时，不等式成立，即，那么当时，所以当时，不等式成立对上述证明方法你认为过程全部正确第一步证明不正确归纳假设不正确D第二步的推理不正确DD.在第二步的推理中，没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证明要解求析：故选 2.11 A1BC1D2nf nnf nf nnf nnf nnf nn凸 边形有条对角线，则凸边形的对角线数为1nn在 个顶点的基础上增加一个解析：顶点
2、条，则增加对角线C221*22313.1(11)1 A 1B 1C 1D 1nnxxxxxxnnxxxxxx用数学归纳法证明，验证成立时，左边的项是N21C.1nxx当时，左边式子是二次式，为，解析：故选C*23514.122223111.nnnnknk 用数学归纳法证明命题 当时，是的倍数 时,当时,原式为,证命题从到成立时，需要增添的项是 N55152535422222kkkkk2341 2222 35.2 .nnnnn 用数学归纳法证明 对于足够大的自然数,总有，则取第一个 的值时，最小的应是 931039251272991021024100010.10nnn当时，；当时，故最小的应是解
3、析：10数学归纳法的原理和证明步骤*1221 321()1()2123A 21B 2 21C.D.11nnnnnnnnknkkkkkkk N用数学归纳法证明，从到左端需乘的代数式是例：121 22B2 211kkkk 解析左端需乘的代数式是：答案：12()311()nnkf kf kf kkk用数学归纳法证明时，要注意观察下列几个方面：的范围以及递推的起点；观察首末两项的次数 或其他，确定时命题的形式；从和的差异，寻找由 到递推中，左边要反思加 乘 上小结：的式子222222222222212212113AB1C1D1nnnkkkkkkkkk 用数学归纳法证明：，第二步证明由到时，左边应加拓展
4、练习1：22211211.112nnkkkkk不等式左边共有项，当时，共有项，增解析：加了两项，即数学归纳法在数列问题中的应用 *12320()1230011122.nnnnnnnanSSananaaaaxyxya xa yn 设数列的前 项和为，并且满足，求，；猜想的通项公式，并加以证明；设，且，证明：例2：N 2112122212332211222211221232111,2,32()2.2()302.22212121.1)22113.112.nnnnnnnnnnnnaanaaaaaaaaanSannSanaaaaaaaanaaa方法分别令，得因为，证明：猜想：由，可知，当时，得：，即解析
5、：所以，当时，因为22022)(2).kaank kak，所以；假设当时，22112111111*112121110.02101.1(2)1.1)1)21.2kkkkkkkkknnknnkaaaakakakakakaknkan nnnNannakaann 那么当时，因为，所以，所以这就是说，当时，猜想也成立所以显然，时，也适合故对于，猜想：当时，成立方法；假：设当时，均有 2112211112211.121212212121.(1)kkkkkkkkkkknkSakaSakaaSkakkkak那么当时，所以，所以以下同方法 22223112(2)12(1)(1)12222()122.121241
6、241.10012412141nxnynnxnxnynynn xxyyn xyn xynxyn xynnn xynnxyxyxyxyxyxy 要证，只要证，即证将代入，得故，即要证，即证因为，且，成立所所以方法：原不以，即，等式成立1100111211221112“”112221“”24(11)12221“22.”22xyxynnxnnxnnynxnnxnyxnn xynnxnynynxy 因为，且，所以，当且仅当时取号.所以,当且仅当时取号得，当且仅当时取号所以方法：222().()2 2()2222222()11112(11)2(2)113211ababababababababababab
7、ababababanxbnynxnynxnynnxnyyxyx 可先证因为，所以，所以，当且仅当时取等号令，即得，当且仅当，且，即方法：时取等号 111231tan.1122nnnnnaaaxaaaaaa 在数列中，写出，；求数列的通拓展练习：项公式 1231tantan()tan()4212tan4()1()naxaxaxnaxnnk ，猜想下面用数学归纳法证明：当时，由上面的探求可知猜想成立 假设时解析：猜想成立，1*1tan4(1)1tan14tan()(1)141tan41()()kkkkkaxkxakaxkaxnkn N即，则所以，当时，猜想也成立综合 知，对，猜想都成立数学归纳法在
8、不等式中的应用2*1 22 31131()2n nnn N用数学归纳法证明不等式：例：21122211 22 3112nnkk kk 当时，左边，右边，不等式成立假设当时不等式成证立，即明：，22221 22 3(1)(1)(2)11(1)(2).21(2)1(1)(2)22(1)(2)(1)(2)021 22 3(1)(1)(2)111.2112k kkkkkkkkkkkkkkk kkkknk则因为，所以所以，当时，不等式成立由知，不等式对所有正整数都成立 1231kk 数学归纳法证明命题，思路严谨，必须严格按步骤进行；归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；由 推到时，有时可以“套”
9、用其他证明方法，如比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”反思小结：的一面 *2*1212.()(03(20091)1222 log1()111)1nnxnnnnnanSnnSybr bbbrrbbanbbbnnbbbNNN等比数列的前 项和为已知对任意的，点，均在函数且，均为常数 的图象上求 的值；当时，记证明：对任意的，拓展练习：不等山东卷式成立 *11111112211()(01).121.0121(1)xnnnnnnnnnnnnnNnSybr bbbrSbrnaSbrnaSSbrbrbbbbbbnababrab bab bbbabr 因为对任意的,点，均在函数解且,，均为常数 的图象
10、上,所以当时，；当时，因为，且，所以，当时，数列是以 为公比的等析比数列又，即：，所以，得 11122212122 log12 log 2112.nnnnnnrbabbban由知，当时，12121212111121235721.24621113572112462312.2322nnnnnnbbbbnbnbbbnnbbbnnbbbnnnknk则，所以下面用数学归纳法证明不等式成立当时，左边，右边因为，所以不等式成立假设当时不等式成立，假设当时不等式成立，12121121212211135721124621111135721 2324622223(23)1 224(1)4(1)4(1)14(1)1
11、(1)1(1)1.4(1)kkkkkkbbbkkbbbknkbbbbkkbbbbkkkkkkkkkkkkkn 即成立则当时，左边所以，当1k 时，不等式也成立综上，可得不等式恒成立1111112342124111.122nnnnn用数例：学归纳法证明：11122111111111.2342121221nnkkkkkknk证明：当时，左边右边，命题成立；假设时，命题成立，即那么当时，数学归纳法在证明等式中的应用 1111111123421221221111112221221111232122112kkkkkkkkkkkkknk 左边右边于是当时，命题也成立由知，命题对所有正整数都成立1nknk反
12、思用数学归纳法证明等式时，要清楚等式两边的结构，特别是由到等式两边发生了怎样的变化，项数增加了多少，这是正确解答问小结：题的关键22221 22 311412abcn nn nanbncn 是否存在常数、使得等式对一切正整数 都成立？证明拓展练习：你的结论22221,2,3243424411.9370101 22 3113111012abcnnabcaabcbabccn nn nnn 假设存在常数、使得题中等式对一切正整数都成立，则对，题中等式都成立，即，解得用数学归纳法证解明：析：*222222222221()11 22 31311101211 22 31121311101212135212
13、121235122121212nnk kk kk kkknkk kkkk kkkkkk kkkkkkkkkkkk 当时,等式自然成立;假设时,等式成立，即那么当时，左边N231724kk2222212311111012111 22 3112kkkknkn nn nanbncn 右边所以当时，等式成立由知，等式对一切正整数 都成立 252nnf nnn有 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点求证：这 个圆例：把平面分成个部分数学归纳法在几何问题中的应用 2211122211121221222nfnkkf kkknkkkkkkkkkf kf kkkkk当时，一个圆把平面分成
14、两部分，又，命题成立；假设时，命题成立，即 个圆把平面分成个部分，那么当时，第个圆与原来 个圆都相交于两点,且无任意三圆相交于同一点，于是第个圆与前 个圆有个交点,因此第个圆被分成段弧,每段弧把原区域分成两部分,因此平面区域在原基础上增加了块，于是证明：2112112kknk，即当时,命题成立.由知,命题对任意正整数都成立11kkkk用数学归纳法证明几何问题，关键是第二步中由 到的变化情况通过几何说理，来完成算式推理，借助于几何特征和图形的直观性来建立 与的递反思小结：推关系(2)A1B111C.1D.5122n nf nn nn nn nn n设平面内有条直线，其中任意两条不平行，任意三条不
15、过同一点，则它们的交点的个数为拓展练习：6nnnxyxy求证：当 为正奇数时，能被例：整除用数学归纳法证明整除性问题 *212121212212212212212212121212111221()21.12kknkkkkkkkkkkknnnkkxyxynkxyxxxyyyxyxxyxyxy yxnxyxyyxyN当时，命题显然成立；假设当时命题成立，即能被整除当时，由归纳假设知，能被整除由知证明：当 为正奇数时，能被，整除3,5,724,6,8nnn整除性证明一般都需要添项或减项，这是应用数学归纳法证明整除性问题的一个技巧本题是所有正奇数的命题，第二步中，应从，证明命题成立,如果是所有正偶数的
16、命题，第一步应验证成反思小结立，第二步应从证明命：题成立 *627 39nf nnmnmf nmN已知，是否存在自然数，使得对任意的，都能使 整除？如果存在，求出最大的 的值，并证明你的结论；如果不存在，说拓展练习：明理由 *1111362108336041224.36.1136()3611217 393 27 39 18 313 27 393631136kkkkkfffff nnfnk kf knkf kkkkf kN，猜想：整除的最大整数是当时，命题显然成立；假设当时命题成立，即能被整除则当时，由归纳假设知，能被整除，而是偶数，所解析：证以能被明：36.13636nf nfm整除由知，对任
17、意的正整数，能被整除又，所以最大的 的值为 0“”1nnn 数学归纳法是演绎推理中的完全归纳法，也叫科学归纳法从观察一些特殊简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明这种猜想，这一过程称为 归纳猜想证明 过程，它是一个完整的思维过程数学归纳法将这一过程进行了抽象概括，构建了自己的证明体系一般的，当要证明一个命题对于不小于某个正整数 的所有正整数 都成立时，可以用下面两个步骤来完成：证明当 0*02()1nnk kknnkN时，命题成立；假设当，时，命题成立，再证明当时，命题也成立这种证明方法就是数学归纳法“”“1?nk数学归纳法是一种适应于与
18、正整数有关的命题的证明方法，它的表述严格而有规范，两个步骤缺一不可，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据第二步中，归纳假设起着 已知条件 的作用，在时，必须要用到归纳假设这个条件，否则会犯推理的逻辑错误第二步的关键是在推证中，一要依据假设，二要符合推证的结论 11*211111.21.11 22().6(52009)nnnnnnnxxxxnxxx N已知数列满足：，猜想数列的单调性，并证明你的结论；证明：陕西卷 1124624622222224232121232123111212513.38211(1)0111111nnnkknkkkkkkkkxxxxxxxxxxnnk kxxxxxxxxx
19、xx 由及，得，由 猜想：数列是递减数列下面用数学归纳法证明：当时，已证命题成立假设当时命题成立，即，易知 ，那么解析：22222122232121212111101111.11216201111212kkkkkkkknnnnnnxxxxxxxxnknxxxxnxxxx ，即也就是说，当时命题也成立综合知，命题成立证明：当时，结论成立；当时，易知 ，所以，1111111112112211111(1)1152211|111 2|2115().22()()5556nnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 所以，所以数学归纳法主要是应用于与正整数有关的命题，一般来说与数列联系比较紧密，用于先归后纳猜想用数学归纳法证明问题，这是高考考查的一种基本题型，以解答题形式出现涉及到用数学归纳法证明的内容的难度为中等偏下另外一类题型就是考查对数学归纳法原理的理解，一般是以选择题或填空题形选题感悟：式出现