1、一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】试题分析：并集是所有元素和起来，故.考点：并集.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补
2、集的题目.2.已知向量，若，则实数等于（ ）ABC或2D【答案】C【解析】试题分析：由于两个向量平行，故.考点：向量运算.3.已知，且，则为（ ）ABCD【答案】C111【解析】试题分析：，所以在第四象限，.考点：诱导公式，同角三角函数关系.4.若，则一定有（ ）ABCD【答案】B【解析】试题分析：根据，有，由于，两式相乘有，故选B.考点：不等式的性质.5.函数满足的值为（ ）A1BC或D1或【答案】D【解析】试题分析：,.考点：分段函数求值.6.把函数的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向右平移个单位，这是对应于这个图象的解析式为（ ）AB CD【答案】A考点：
3、三角函数图像变换.7. 函数是偶函数，且在内是增函数，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性.8.设向量，满足，则（ ）A2BC4D【答案】B【解析】试题分析：不妨设，所以，解得，所以.考点：向量运算.9.已知等比数列中，等差数列中，则数列的前9项和为（ ）A9B27C54D72【答案】B【解析】试题分析：根据等比数列的基本性质有，所以，所以.考点：等比数列.10.已知函数，是函数的导函数，则的图象大致是（ ）【答案】A考点：函数导数与图象.11.某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品1件需消耗原料1千克，原料2千克；生产乙产品1件需消耗原料2千克，原料1千克；每件甲
4、产品的利润是300元，每件乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗，原料都不超过12千克，通过合理安排计划，从每天生产的甲，乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A1800元B2400元C2800元D3100元【答案】C【解析】试题分析：设生产甲，乙，依题意有，目标函数，作出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点取得最大值为.考点：线性规划.【思路点晴】本题主要考查线性规划来解实际应用问题.考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题. 线性目标函数（不全为）中，当时，这样线性目标函数可看成斜率为，且随变化的一组平行线，则把求的最大值和最小值的问题转化为直
5、线与可行域有公共点，直线在轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当时，的值随着直线在轴上的截距的增大而增大；当时，的值随着直线在轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.12.已知函数（）与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：两个函数存在关于轴的对称点，即有实根，即有实根，即左右两个函数在有交点，结合两个函数的图象可知当时有交点，故的取值范围是.考点：函数的图象与性质.【思路点晴】本题主要考查函数图象换和零点问题，考查化归与转化的数学
6、思想方法，考查数形结合的数学思想方法.首先将已知“两个函数图象存在关于轴的对称点”，转化为有实根来求解，化简后得到有实根.先画出函数的图象，当时，所以函数中的最大值为，由此求得.第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13.若一个幂函数图象过点，则 【答案】考点：幂函数.14.设数列的前项和为，已知，则的通项公式为 【答案】【解析】试题分析：当时，当时，所以通项公式为.考点：数列已知求.【思路点晴】已知求是一种非常常见的题型，这些题都是由与前项和的关系来求数列的通项公式，可由数列的通项与前项和的关系是，注意：当时，若适合，则的情况可并入时的通项；当时，若不适合
7、，则用分段函数的形式表示15.平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，则 【答案】考点：向量运算.【思路点晴】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的夹角公式，考查方程的思想. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决对向量与三角函数的综合问题，可通过向量的数量积运算把向量问题转化为三角问题，从而可利用三角公式求解11116.如图，在中，为内一点，则 【答案】考点：解三角形.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数，（1）求；（2）求函数的最小正周期与单调减区间【答案】（1）
8、；（2），单调减区间为，.【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式、降次公式、辅助角公式，化简，所以；（2）由（1）可知最小正周期为.利用求得单调减区间为.试题解析：（1）；1111（2）的最小正周期为，令，解得，所以函数的单调减区间为，考点：三角恒等变换，三角函数单调区间.18.已知各项均为正数的数列，满足，（）（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）.（2）由（1）知，所以，所以，则，得，所以考点：递推数列求通项，错位相减法.19.在中，角，的对边分别为，且（1）求角的值；（2）若，边上中线，求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）利用正弦定理，化简
9、得，所以；（2）由内角和定理求得，三角形为等腰三角形，由余弦定理，得，解得，面积为.考点：解三角形.20.已知函数，且（1）求的值；（2）若对于任意，都有，求的最小值【答案】（1）；（2）.1（2）由，得，因为，所以对于任意，都有设，则，令，解得，当变化时，与的变化情况如下表：11111增极大值减所以当时，因为对于任意，都有成立，所以，所以的最小值为考点：函数导数与不等式。21.为了保护环境，发展低碳经济，某单位再国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数
10、关系可近似的表示为：，且每处理一顿二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【答案】（1）；（2）不获利，.（2）设该单位每月获利为，则，因为，所以当时，有最大值故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损考点：应用问题，基本不等式.【方法点晴】本题主要考查实际应用问题，考查利用基本不等式求最值的方法，考查利用二次函数性质求最值的方法.第一问成本的表达式已经给出为，再除以就得到平均成本，观察这个平均成本，发
11、现可以利用基本不等式求最值，基本不等式求最值要注意一正二定三相等.第二问要求补贴的最小值，也即是要求亏损的最大值.先列出获利的表达式，利用配方法求得最值.22.已知函数（）（1）若，求函数的极值；（2）当时，判断函数在区间上零点的个数【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）当时，在上有且仅有一个零点，当时，在上有两个零点.试题解析：（1），递减极小值递增极大值递减所以的极小值为，极大值为（2）由（1）得，当时，在上单调递增，在上递减又因为，所以在上有两个零点；当时，在上有两个零点；当时，恒成立，在单调递增，所以在上有且仅有一个零点，综上可知，当时，在上有且仅有一个零点；当时，在上有两个零点考点：导数与极值，零点【方法点晴】本题主要考查考查导数与极值、最值的问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查零点与二分法等知识.第一问求函数的单调区间与极值，只需利用导数，因式分解后利用列表法求得函数的单调区间与极值.第二问在第一问的基础上，的范围放大，同第一问的方法，根据导数的零点是否在区间上，利用导数和二分法讨论函数的零点个数.