1、2019全国一卷高考压轴题 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X（1
2、）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，其中，假设，(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性解析：（1）首先根据题意，随机试验一轮试验共4个结果，我们用符号+-分别表示治愈和未治愈。则甲+乙+，甲+乙-，甲-乙+，甲-乙-。pX=-1=p甲-乙+=(1-)p(X=0)=P甲+乙+P甲-乙-=+1-(1-)pX=1=p甲+乙-=(1-)所以X的分布列为：X-10+1p(1-)+1-(1-)(1-)（2）当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更
3、有效。假设四轮试验都是甲+乙，则甲药比乙药多四只，认为甲药更有效。此时甲药得分为4分，乙药得分为-4分，所以甲药、乙药在试验开始时都赋予4分。表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则表示四轮试验都是甲-乙+，乙药有效，表示四轮试验都是甲+乙-，甲药有效。 ，假设，X-10+1pa=0.4b=0.5c=0.1所以pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1可以描述为第i步有三种走法，倒退，不动和前进，倒退的概率为a，不动的概率为b，后退的概率为c。这其实是概率论中著名的“直线的随机游走问题”。从数列的角度分析，实质上是一个递推公式，则pi+1=5pi-4pi-1(i)
4、证明：pi+1-pipi-pi-1=4pi-4pi-1pi-pi-1=4所以为等比数列(ii) 数列的通项公式为pi-pi-1=p14i-1，所以可以用叠加法求解： p2-p1=p14 p3-p2=p142 pi-pi-1=p14i-1可得pi-p1=p14+42+4i-1=p141-4i-11-4pi=4i-13p1， 所以则表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.另外设数列的前n项和为SnSn=pn-pn-1+pn-1+pn-2+p2-p1+p1=pn=p11-4n1-4=p134n-1， 所以
