1、2.4 圆与圆的位置关系 必备知识自主学习 导思 1.如何通过两个圆的方程判断位置关系？2从几何图形如何判断位置关系？1.若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系：位置关系 公共点个数 圆心距与半径的关系 图示 两圆外离 0 dr1+r2 两圆内含 d|r1-r2|位置关系 公共点 个数 圆心距与半径 的关系 图示 两圆相交 2|r1-r2|d r1+r2 两圆内切 1 d=|r1-r2|两圆外切 d=r1+r2 2.本质：利用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系【思考】(1)当两圆外离、外切、相交、内切、内含时公切线的条数分别是多少？提示：公切线的条数分别是4，3
2、，2，1，0.(2)当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？提示：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线 1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)若两圆有唯一的公共点，则两圆外切()(2)若两圆没有公切线，则两圆内含()(3)若两圆的半径分别为 r1，r2，圆心距为 d，当 d|r1r2|时，两圆相交()提示：(1).两圆也可能内切(2).只有两圆内含时，两圆才没有公切线(3).当 d|r1r2|时，两圆内含 2圆(x2)2y24 与圆(x2)2(y1)29 的位置关系为()A内切 B相交 C外切 D相
3、离【解析】选 B.两圆圆心分别为(2，0)，(2，1)，半径分别为 2 和 3，圆心距 d 4212 17.因为 32d32，所以两圆相交 3(教材二次开发：例题改编)若圆 C1：x2y24 与圆 C2：x2y26x8ym0外切，则实数 m()A24 B16 C24 D16【解析】选 D.C1(0，0)，r12，C2(3，4)，r2 25m，由外切得（03）2（04）2 2 25m，解得 m16.关键能力合作学习 类型一 两圆位置关系的判定(数学运算、直观想象)1圆 O1：x2y22x0 与圆 O2：x2y24y0 的位置关系是()A外离 B相交 C外切 D内切 2圆 A：x2y21 与圆 B
4、：x24xy250 的公共点个数为()A0 B3 C2 D1 3圆 C1：x2y22y0，C2：x2y22 3 x60 的位置关系为()A外切 B相交 C内切 D内含【解析】1.选 B.O1：x2y22x0 与圆 O2：x2y24y0，故圆心坐标与半径分别为 O1(1，0)，O2(0，2)，r11，r22，O1O2 5，r2r11，1 5 0)，由题意可得22(a 1)br1b33()1a33|a3b|r2 ，解得a4，b0，r2 或a0，b4 3，r6，所以所求圆的方程为(x4)2y24 或 x2(y4 3)236.【拓展延伸】圆 O1(xa)2(yb)2r21，圆 O2(xc)2(yd)2
5、r22.两圆相切时，两圆方程作差得过切点的公切线方程【拓展训练】已知圆 C1：x2y29 与圆 C2：(x3)2(y4)2r2(r0)相外切若圆 C2关于直线 l：ax9 by12 1 对称，求由点(a，b)向圆 C2所作的切线长的最小值【解析】圆 C1 的圆心 C1(0，0)，半径为 3.圆 C2 的圆心 C2(3，4)，半径 r.|C1C2 3242 5.因为两圆相外切，所以|C1C2 3r5，解得 r2.因为圆 C2 关于直线 l：ax9 by12 1 对称，所以3a9 4b12 1，化为 ab3.由点(a，b)向圆 C2 所作的切线长（a3）2()b4 222 2b28b12 2（b2
6、）24，所以当 b2 时，切线长取得最小值 2.类型三 两圆相交问题(数学运算、直观想象)角度 1 与公共弦相关的问题 【典例】两圆 x2y24x6y120 与 x2y22x14y150 公共弦所在直线的方程是()Ax3y10 B6x2y10 C6x8y30 D3xy50【思路导引】把两圆方程作差可得公共弦所在直线方程【解析】选 C.两圆方程 x2y24x6y120 与 x2y22x14y150 相减，可得公共弦所在直线方程为 6x8y30.求【典例】中两圆相交所得公共弦的弦长【解析】x2y24x6y120 化成标准方程得，(x2)2(y3)21，所以弦长为 22222|12243|1)68(
7、21 81100 195 .角度 2 圆与圆位置关系的应用 【典例】若圆 O：x2y25 与圆 O1：(xm)2y220()mR 相交于 A，B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度为_【思路导引】切线垂直转化为过切点的两个半径垂直【解析】如图所示，在 RtOO1A 中，OA 5，O1A2 5，所以 OO15，所以 AC 52 55 2，所以 AB4.答案：4 公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解 1圆 x2y22xF
8、0 和圆 x2y22xEy40 的公共弦所在的直线方程是 xy10，则()AE4，F8 BE4，F8 CE4，F8 DE4，F8【解析】选 C.由圆 x2y22xF0 和圆 x2y22xEy40 作差，得4xEyF40.所以 E4，F8.2若圆 x2y24 与圆 x2y22ay60(a0)的公共弦的长为 2 3，则 a()A2 B1 C1 D2【解析】选 B.由圆 x2y24 与圆 x2y22ay60(a0)，可得公共弦的方程为y1a，又 x2y24 的圆心坐标为(0，0)，半径为 r2，由圆的弦长公式可得 l2 r2d2 2214()a2 3，解得 a1.【补偿训练】若圆2(xa)2(yb)
9、b21 始终平分2(x1)2(y 1)4 的周长，则 a，b 应满足的关系式为()Aa22a2b30 Ba22a2b50 Ca22b22a2b10 D3a22b22a2b10 【解析】选 B.因为圆2(xa)2(yb)b21 始终平分2(x1)2(y 1)4 的周长 所以两圆交点的直线过2(x1)2(y 1)4 的圆心()1，1 ，两圆方程相减可得()22a x()22b ya210，将()1，1 代入可得22a22ba210，即 52a2ba20，所以 B 选项是正确的 备选类型 圆系方程【典例】圆心在直线 xy40 上，且经过两圆 x2y26x40 和 x2y26y280 的交点的圆的方程
10、为()Ax2y2x7y320 Bx2y2x7y160 Cx2y24x4y90 Dx2y24x4y80【思路导引】方法一，联立两圆方程，求出交点坐标，再求圆的方程；方法二，利用圆系方程求解【解析】选 A.方法一：(几何法)由x2y26x40，x2y26y280，得 A(1，3)，B(6，2)，线段 AB 的垂直平分线方程为 xy30.由xy40，xy30 得圆心坐标为12，72 .半径2217(1)(3)22 1782.所求圆的方程为2217(x)(y)221784 ，即 x2y2x7y320.方法二：(圆系方程)根据题意，要求圆经过两圆 x2y26x40 和 x2y26y280 的交点，设其方
11、程为()x2y26x4 ()x2y26y28 0，变形可得()1 x2()1 y26x6y4280，其圆心为31，31 ，又由圆心在直线 xy40 上，则有31 31 40，解得7；则圆的方程为(6)x2(6)y26x42y1920，即 x2y2x7y320，所以 A 选项是正确的 求经过两圆交点的圆方程 已知两圆 C1：x2y2D1xE1yF10 和 C2：x2y2D2xE2yF20 相交，则方程 x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0.当 1 时，表示公共弦所在直线方程；当 1 时，表示过两圆交点的圆 过两圆 x2y2xy20 与 x2y24x4y80 的交点和点()3，1
12、 的圆的方程是_【解析】根据题意，设所求圆的方程为()x2y2xy2 ()x2y24x4y8 0()1 ，要求圆经过点()3，1 ，则有 4100，解可得25，则要求圆的方程为 x2y2133 xy20.答案：x2y2133 xy20 课堂检测素养达标 1已知圆 M 的圆心 M(2，0)，圆 M 与圆 O：x2y21 外切，则圆 M 的方程为()A(x1)2y21 B(x2)2y21 Cx2(y1)21 Dx2(y2)21【解析】选 B.两圆圆心距 2，圆 M 的半径为 211，所以圆 M 的方程为(x2)2y21.2两圆 x2y210 和 x2y24x2y40 的位置关系是()A内切 B外离
13、 C外切 D相交【解析】选 D.由题意可得两圆方程为 x2y21 和()x2 2()y1 29.则两圆圆心分别为()0，0 和()2，1 ；半径分别为 r11 和 r23，则圆心距：d()202()102 5，则|r1r2 5|r1r2 ，所以两圆相交 3(教材二次开发：练习改编)已知直线 yx 被圆 M：x2y2Ey0()E0 截得的弦长为 2 2，且圆 N 的方程为 x2y22x2y10，则圆 M 与圆 N 的位置关系为()A相交 B外切 C相离 D内切【解析】选 A.圆 M：x2y2Ey0()E0 的圆心为0，E2 ，半径为E2.所以E24 2(|0E2|2)2，解得 E4.所以圆 M 的圆心为(0，2)，半径为 2.圆 N 的圆心为(1，1)，半径为 1.因为|MN|（01）2（21）2 2，且 21|MN|21，所以两圆相交 4已知圆 C1：x2y24x2y0 与圆 C2：x2y22y40.则两圆公共弦所在直线的方程为_【解析】两圆方程作差得两圆公共弦所在直线方程 xy10.答案：xy10 5已知圆 O1：x2y21，圆 O2：(x4)2(ya)225，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数 a_【解析】因为两个圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，16a2 4，外切时 16a2 6，所以 a2 5 或 0.答案：2 5 或 0
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