1、第四节直线、平面平行的判定及其性质1直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a，b，abP，a，b，a，b，a，结论aba3.与垂直相关的平行的判定(1)a，bab.(2)a，a.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行()(2)若直线a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条()(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行()(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行()
2、答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)下列命题中，正确的是()A若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面B若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行C若直线a，b和平面满足a，b，那么abD若直线a，b和平面满足ab，a，b，则bD根据线面平行的判定与性质定理知，选D.3设，是两个不同的平面，m，n是平面内的两条不同直线，l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分不必要条件是()Am且l1Bm且nl2Cm且nDml1且nl2Dml1且nl2，但D/ml1且nl2，“ml1且nl2”是“”的一个充分不必要条件4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则B
3、D1与平面ACE的位置关系是_平行如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是BDD1的中位线，EFBD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，BD1平面ACE.5(2017杭州二中质检)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若n，mn，m，则m；若，则.其中是真命题的是_(填上序号)，mn或m，n异面，故错误；易知正确；，m或m，故错误；，或与相交，故错误与线、面平行相关命题真假的判断已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在
4、内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面DA项，可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m，n，mn，则m，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有mn，所以原命题正确，故D项正确规律方法1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项2(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正
5、确变式训练1(2017宁波中学模拟)若m，n表示不同的直线，表示不同的平面，则下列结论中正确的是()A若m，mn，则nB若m，n，m，n，则C若，m，n，则mnD若，m，nm，n，则nD在A中，若m，mn，则n或n，故A错误在B中，若m，n，m，n，则与相交或平行，故B错误在C中，若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故C错误在D中，若，m，nm，n，则由线面平行的判定定理得n，故D正确直线与平面平行的判定与性质(2017南通模拟)如图741所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点图741(1)当等于何值时，BC1平面AB1D1?(2)若平面BC1D平面AB1D
6、1，求的值. 【导学号：51062232】解(1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时1.2分连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，点O为A1B的中点在A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，OD1BC1.4分又OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，BC1平面AB1D1.当1时，BC1平面AB1D1.6分(2)由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O得BC1D1O，8分，又由题(1)可知，1，1，即1.15分规律方法1.判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利
7、用反证法(线面平行的定义)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa)2利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线变式训练2如图742，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点图742(1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离解(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以EO
8、PB.4分因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.6分(2)由VPAABADAB，又V，可得AB.作AHPB交PB于点H.10分由题设知BC平面PAB，所以BCAH，故AH平面PBC.在RtPAB中，由勾股定理可得PB，所以AH.所以A到平面PBC的距离为.15分平面与平面平行的判定与性质如图743所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：图743(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.4分又B1C1BC，GH
9、BC，B，C，H，G四点共面.6分(2)在ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.8分A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形，则A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.12分A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.15分迁移探究在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD平面A1B1BA.证明如图所示，连接HD，A1B，D为BC1的中点，H为A1C1的中点，HDA1B.8分又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，HD平面A1B1BA.15分规律方法1.判定面面平行的主要方法：(1)面面平
10、行的判定定理(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)2面面平行的性质定理的作用：(1)判定线面平行；(2)判断线线平行，线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向易错警示：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行变式训练3如图744所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：图744(1)直线EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.【证明】(1)如图所示，连接SB，E，G分别是BC，SC的中
11、点，EGSB.3分又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，直线EG平面BDD1B1.7分(2)连接SD，F，G分别是DC，SC的中点，FGSD.10分又SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.15分思想与方法1线线、线面、面面平行的相互转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化2直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质3平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.易错与防范1在推证线面平行
12、时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误2(1)在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件(2)如要一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交3在应用性质定理时，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”，另外要注意符号语言的规范应用课时分层训练(三十九)直线、平面平行的判定及其性质A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1设m，n是不同的直线，是不同的平面，且m，n，则“”是“m且n”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A若m，n，则m且n；反之若m
13、，n，m，且n，则与相交或平行，即“”是“m且n”的充分不必要条件2.正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确的命题是()图745AAECGBAE与CG是异面直线C四边形AEC1F是正方形DAE平面BC1FD由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AECG不成立；由于EGA1C1AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AEEC1C1FAF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AEC1F，由线面平行的判定定理，可得AE平面BC1F.3(2017湖州模拟)如图746所示的三
14、棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()图746A异面B平行C相交D以上均有可能B在三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1.AB平面ABC，A1B1平面ABC，A1B1平面ABC.过A1B1的平面与平面ABC交于DE，DEA1B1，DEAB.4已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是() 【导学号：51062233】A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则nB若m，n，则m，n平行、相交或异面，A错；若m，n，则mn，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m，mn，则n或n，C错
15、；若m，mn，则n与可能相交，可能平行，也可能n，D错5给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面，的三个命题：若l与m为异面直线，l，m，则；若，l，m，则lm；若l，m，n，l，则mn.其中真命题的个数为()A3B2C1D0C中，当与不平行时，也可能存在符合题意的l，m；中，l与m也可能异面；中，ln，同理，lm，则mn，正确二、填空题6设，为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：a，b，a，b；，；，；a，b，ab.其中能推出的条件是_(填上所有正确的序号)在条件或条件中，或与相交由，条件满足在中，a，abb，从而，满足7如图747所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点
16、E为AD的中点，点F在CD上若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_图747在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AC2.又E为AD中点，EF平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC平面AB1CAC，EFAC，F为DC中点，EFAC.8(2017衡水模拟)如图748，在四面体ABCD中，M，N分别是ACD，BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_图748平面ABC，平面ABD连接AM并延长交CD于E，则E为CD的中点由于N为BCD的重心，所以B，N，E三点共线，且，所以MNAB.于是MN平面ABD且MN平面ABC.三、解答题9一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图
17、749所示(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论. 【导学号：51062234】图749解(1)点F，G，H的位置如图所示.6分(2)平面BEG平面ACH，证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BCFG，BCFG.9分又FGEH，FGEH，所以BCEH，BCEH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BECH.12分又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.15分10(2017绍兴质检)如图7410，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已
18、知ACBC，BCCC1，设AB1的中点为D，B1CBC1E.图7410求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.2分又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.6分(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.8分因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.12分因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C
19、.因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是()图7411AACBDBAC截面PQMNCACBDD异面直线PM与BD所成的角为45C因为截面PQMN是正方形，所以MNPQ，则MN平面ABC，由线面平行的性质知MNAC，则AC截面PQMN，同理可得MQBD，又MNQM，则ACBD，故A、B正确又因为BDMQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45，故D正确2如图7412所示，棱柱ABCA1B1C
20、1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B平面B1CD，则A1DDC1的值为_. 【导学号：51062235】图74121设BC1B1CO，连接OD.A1B平面B1CD且平面A1BC1平面B1CDOD，A1BOD.四边形BCC1B1是菱形，O为BC1的中点，D为A1C1的中点，则A1DDC11.3如图7413所示，在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，PAAC，ABBC，设D，E分别为PA，AC的中点图7413(1)求证：DE平面PBC.(2)在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由解(1)证明：点E是AC中点，点D是PA的中点，DEPC.2分又DE平面PBC，PC平面PBC，DE平面PBC.6分(2)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行.8分证明如下：取AB的中点F，连接EF，DF.由(1)可知DE平面PBC.点E是AC中点，点F是AB的中点，EFBC.12分又EF平面PBC，BC平面PBC，EF平面PBC.又DEEFE，平面DEF平面PBC，平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行.15分