1、第二十四章 24.2.5 实验与探究 圆和圆的位置关系 知识点：圆和圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种,如下表所示(R、r 为两圆的半径,Rr,d 为两圆圆心的距离):位置关系 图形 公共点个数 公共点名称 数量关系 外离 0 dR+r 外切 1 切点 d=R+r来源:1ZXXK 相交 2来源:1ZXXK 交点 R-rdR+r 内切 1 切点 d=R-r 内含 0 dR-r 时,两圆可能相交,还可能外切或外离;当dR+r 时,两圆可能相交,还可以内切或内含;只有当 R-rdR+r 时,才能判定两圆相交.具有内切和内含关系的两圆半径不可能相等,否则这两圆重合;同心圆时 d=0;(3)已知两圆相
2、切时,要分外切、内切两种情况考虑;(4)连心线和圆心距是两个不同的概念,连心线是通过不同的圆的圆心的一条直线,圆心距是指两个圆心之间的线段的长度,圆心距是连心线的一部分;(5)两圆相切的性质:两圆相切,切点一定在连心线上,它是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线.两圆相交的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦;(6)有关两圆问题,作连心线(圆心距)是常用的辅助线.考点 1：圆和圆的位置关系的判定 【例 1】已知两圆半径之比是 53,如果两圆内切时,圆心距等于 6,问当两圆的圆心距分别是 24,5,20,0 时,相应两圆的位置关系如何?解:两圆的半径之比为 53,可设大圆半径 R=5x,小圆半径 r
3、=3x.两圆内切时圆心距等于 6,5x-3x=6.x=3.R=15,r=9.R+r=24,R-r=6.当两圆圆心距 d1=24 时,有 d1=R+r,此时两圆外切;来源:1 当两圆圆心距 d2=5 时,有 d2R-r,此时两圆内含;当两圆圆心距 d3=20 时,有 R-rd3R+r,此时两圆相交;当两圆圆心距 d4=0 时,有 d4R-r,此时两圆内含,且两圆圆心重合,两圆为同心圆.点拨:根据两圆的位置关系与 R,r,d 的关系求解、判定.考点 2：在直角坐标系中解决问题【例 2】如图,在平面直角坐标系中,点 O1的坐标为(-4,0),以点 O1为圆心,8 为半径的圆与 x 轴交于 A、B 两
4、点,过点 A 作直线 l 与 x 轴负方向相交成 60的角,且交 y 轴于点 C,以点 O2(13,5)为圆心的圆与 x 轴相切于点 D.(1)求直线 l 的解析式;(2)将O2以每秒 1 个单位的速度沿轴向左平移,当O2第一次与O1外切时,求O 2平移的时间.解:(1)由题意,得 OA=|-4|+|8|=12,点 A 的坐标为(-12,0).在 RtAOC 中,OAC=60,OA=12,求得 OC=12.点 C 的坐标为(0,-12).设直线 l 的解析式为 y=kx+b,由直线 l 过 A、C 两点,得解得 直线 l 的解析式为 y=-x-12.(2)如图,设O2平移 ts 后到O3处与O 1第一次外切于点 P,O3与 x 轴相切于点 D1,连接 O1O3、O3D1,则 O1O3=O1P+PO3=8+5=13.O3D1x 轴,O3D1=5.在 RtO1O3D1中,O1D1=12.O1D=O1O+OD=4+13=17,D1D=O1D-O1D1=17-12=5,t=5(s).O2平移的时间为 5s.点拨:(1)用待定系数法求直线 l 的解析式,可先求出它与坐标轴的交点 A、C 的坐标;(2)如图,先画出O2第一次平移到与O1外切为O3,连接 O1O3、O3D,构造直角三角形求出 O1D 的距离,再求时间 t.
