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2020新课标高考数学二轮讲义:第一部分第3讲 复数与平面向量 WORD版含解析.doc

上传人:高**** 文档编号:321039 上传时间:2024-05-27 格式:DOC 页数:14 大小:468.50KB
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资源描述

1、第3讲复数与平面向量复数考法全练1(2019高考全国卷)若z(1i)2i,则z()A1iB1iC1iD1i解析:选D.由z(1i)2i,得zi(1i)1i.故选D.2(2020山东高考模拟)已知abi(a,bR)是的共轭复数,则ab()A1BC.D1解析:选D.根据题意i,所以abii.所以a0,b1,所以ab1,故选D.3(一题多解)(2019南宁模拟)设z2i,则|z|()A0BC1D解析:选C.法一:因为z2i2ii2ii,所以|z|1,故选C.法二:因为z2i,所以|z|1.故选C.4(2019漳州模拟)已知i是虚数单位,且z,则z的共轭复数在复平面内对应的点在()A第一象限B第二象限

2、C第三象限D第四象限解析:选A.z2i,则z2i,所以z对应的点在第一象限故选A.5(2019高考全国卷)设复数z满足|zi|1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A(x1)2y21B(x1)2y21Cx2(y1)21Dx2(y1)21解析:选C.由已知条件,可得zxyi(x,yR),因为|zi|1,所以|xyii|1,所以x2(y1)21.故选C.6(2019高考江苏卷)已知复数(a2i)(1i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是_解析:(a2i)(1i)a2(a2)i,因为其实部是0,故a2.答案:2复数代数形式的2种运算方法(1)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运

3、算,可将含有虚数单位i的看作一类项,不含i的看作另一类项,分别合并同类项即可(2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题时要注意把i的幂写成最简形式复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”,其实质就是“分母实数化”提醒(1)复数运算的重点是除法运算,其关键是进行分母实数化(2)对一些常见的运算,如(1i)22i,i,i等要熟记(3)利用复数相等abicdi列方程时,注意a,b,c,dR的前提条件 平面向量的线性运算考法全练1(一题多解)(2019合肥市第二次质量检测)在ABC中,若a,b,则()AabBabCabDab解析:选A.通解:如图,过点D分别作AC,AB

4、的平行线交AB,AC于点E,F,则四边形AEDF为平行四边形,所以.因为,所以,所以ab,故选A.优解一:()ab,故选A.优解二:由,得(),所以()ab,故选A.2(一题多解)(2019广东六校第一次联考)如图,在ABC中,P是BN上一点,若t,则实数t的值为()ABCD解析:选C.通解:因为,所以.设,则()(1),又t,所以t(1),得,解得t,故选C.优解:因为,所以,所以tt.因为B,P,N三点共线,所以t1,所以t,故选C.3已知P为ABC所在平面内一点,0,|2,则ABC的面积等于()AB2C3D4解析:选B.由|得,PBC是等腰三角形,取BC的中点为D,则PDBC,又0,所以

5、()2,所以PDAB1,且PDAB,故ABBC,即ABC是直角三角形,由|2,|1可得|,则|2,所以ABC的面积为222,故选B.4已知向量a(1,2),b(m,1),若a(ab),则实数m的值为_解析:ab(1m,1),因为a(ab),所以2(1m)1,解得m.答案:5(2019郑州市第一次质量预测)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF交于点G.若(,R),则_解析:由题图可设x(x0),则x()x()x.因为,与不共线,所以,x,所以.答案:平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题,要尽可能转化到三角形或平行四边形中,灵活运用三角

6、形法则、平行四边形法则,紧密结合图形的几何性质进行运算(2)在证明两向量平行时,若已知两向量的坐标形式,常利用坐标运算来判断;若两向量不是以坐标形式呈现的,常利用共线向量定理(当b0时,ab存在唯一实数,使得ab)来判断提醒向量线性运算问题的2个关注点(1)注意尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来求解(2)注意结论的使用:O为直线AB外一点,若点P在直线AB上,则有(1);若点P满足,则有. 平面向量的数量积考法全练1(2019高考全国卷)已知(2,3),(3,t),|1,则()A3B2C2D3解析:选C

7、.因为(3,t)(2,3)(1,t3),|1,所以1,所以t3,所以(1,0),所以21302.故选C.2(2019高考全国卷)已知非零向量a,b满足|a|2|b|,且(ab)b,则a与b的夹角为()ABCD解析:选B.由(ab)b,可得(ab)b0,所以abb2.因为|a|2|b|,所以cosa,b.因为0a,b,所以a与b的夹角为.故选B.3(一题多解)(2019安徽五校联盟第二次质检)在ABC中,AB3,AC2,BAC120,点D为BC边上一点,且2,则()ABC1D2解析:选C.法一:因为2,所以2(),所以,则232321,故选C.法二:以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴建立平面直

8、角坐标系,如图所示则A(0,0),B(3,0),C(1,),因为2,所以(4,),则D,所以(3,0),则301,故选C.4(2019高考全国卷)已知a,b为单位向量,且ab0,若c2ab,则cosa,c_解析:由题意,得cosa,c.答案:5已知向量a,b满足|a|1,|b|2,则|ab|ab|的最小值是_,最大值是_解析:已知|a|1,|b|2,则(|ab|ab|)22(a2b2)2|ab|ab|102102.由|a|1,|b|2,得2ab2,则(ab)20,4,所以(|ab|ab|)216,20,所以|ab|ab|4,2,所以|ab|ab|的最小值是4,最大值是2.答案:426已知平面内

9、三个不共线向量a,b,c两两夹角相等,且|a|b|1,|c|3,则|abc|_解析:由平面内三个不共线向量a,b,c两两夹角相等,可得夹角均为,所以|abc|2a2b2c22ab2bc2ac119211cos 213cos 213cos 4,所以|abc|2.答案:2平面向量数量积问题的难点突破(1)借“底”数字化,要先选取一组合适的基底,这是把平面向量“数化”的基础(2)借“系”坐标化,数形结合,建立合适的平面直角坐标系,将向量的数量积运算转化为坐标运算 平面向量在几何中的应用考法全练1(一题多解)(2019郑州市第二次质量预测)在RtABC中,C90,CB2,CA4,P在边AC的中线BD上

10、,则的最小值为()AB0C4D1解析:选A.通解:因为BC2,AC4,C90,所以AC的中线BD2,且CBD45.因为点P在边AC的中线BD上,所以设(01),如图所示,所以()()22|cos 1352(2)28248,当时,取得最小值,故选A.优解:依题意,以C为坐标原点,分别以AC,BC所在的直线为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(0,2),D(2,0),所以直线BD的方程为yx2,因为点P在边AC的中线BD上,所以可设P(t,2t),(0t2),所以(t,2t),(t,t),所以t2t(2t)2t22t2,当t时,取得最小值,故选A.2(一题多解)(2019长春市质量监测(

11、二)如图,正方形ABCD的边长为2,E为BC边的中点,F为CD边上一点,若|2,则|()A3B5CD解析:选D.法一:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示,则A(0,0),E(2,1)设|x,则F(x,2),故(x,2),(2,1)因为|2,所以(x,2)(2,1)2x25,解得x,所以|,故选D.法二:连接EF,因为|cosEAF|2,所以|cosEAF|,所以EFAE.因为E是BC的中点,所以BECE1.设DFx,则CF2x.在RtAEF中,AE2EF2AF2,即2212(2x)21222x2,解得x,所以AF.故选D.3(2019江苏南通基地

12、学校联考改编)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(,1)在以原点O为圆心的圆上已知圆O与y轴正半轴的交点为P,延长AP至点B,使得AOB90,则_,|_解析:由题可得圆O的半径r2,所以P(0,2),则AP所在直线方程为y2(x0),即yx2.设B,则(,1),.由AOB90可得0,所以xx2x20,解得x,所以B(,3),所以(,1),所以1(1)2,|(2,0)|2.答案:22用向量解决平面几何问题的3个步骤(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如平行、垂直和距离、夹角等问题(3)把运算结果

13、“翻译”成几何关系提醒关注2个常用结论的应用(1)ABC中,AD是BC边上的中线,则()(2)ABC中,O是ABC内一点,若0,则O是ABC的重心 一、选择题1若i是虚数单位,则复数的实部与虚部之积为()AB.C.iDi解析:选B.因为i,所以其实部为,虚部为,实部与虚部之积为.故选B.2(2019广州市综合检测(一)a,b为平面向量,已知a(2,4),a2b(0,8),则a,b夹角的余弦值等于()ABC.D.解析:选B.设b(x,y),则有a2b(2,4)(2x,2y)(22x,42y)(0,8),所以,解得,故b(1,2),|b|,|a|2,cosa,b,故选B.3(2019广东六校第一次

14、联考)在ABC中,D为AB的中点,点E满足4,则()A.B.C.D.解析:选A.因为D为AB的中点,点E满足4,所以,所以(),故选A.4(2019湖南省五市十校联考)已知向量a,b满足|a|1,|b|2,a(a2b)0,则|ab|()A.B.C2D.解析:选A.由题意知,a(a2b)a22ab12ab0,所以2ab1,所以|ab|.故选A.5已知(1i)zi(i是虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析:选A.因为(1i)zi,所以z,则复数z在复平面内对应的点的坐标为,所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限,故选A.6已知向量a与b的夹角

15、为120,且|a|b|2,则a在ab方向上的投影为()A1B.C.D.解析:选B.由向量的数量积公式可得a(ab)|a|ab|cosa,ab,所以a在ab方向上的投影|a|cosa,ab.又ab|a|b|cosa,b22cos 1202,所以|a|cosa,ab,故选B.7在如图所示的矩形ABCD中,AB4,AD2,E为线段BC上的点,则的最小值为()A12B15C17D16解析:选B.以B为坐标原点,BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,4),D(2,4),设E(x,0)(0x2),所以(x,4)(x2,4)x22x16(x1)215,于是当x1,即

16、E为BC的中点时,取得最小值15,故选B.8(一题多解)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b24eb30,则|ab|的最小值是()A.1B.1C2D2解析:选A.法一:设O为坐标原点,a,b(x,y),e(1,0),由b24eb30得x2y24x30,即(x2)2y21,所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心,1为半径的圆因为a与e的夹角为,所以不妨令点A在射线yx(x0)上,如图,数形结合可知|ab|min|1.故选A.法二:由b24eb30得b24eb3e2(be)(b3e)0.设b,e,3e,所以be,b3e,所以0,取EF的中点为C,则B在以C为圆

17、心,EF为直径的圆上,如图设a,作射线OA,使得AOE,所以|ab|(a2e)(2eb)|a2e|2eb|1.故选A.9(多选)下列命题正确的是()A若复数z1,z2的模相等,则z1,z2是共轭复数Bz1,z2都是复数,若z1z2是虚数,则z1不是z2的共轭复数C复数z是实数的充要条件是z (是z的共轭复数)D已知复数z112i,z21i,z332i(i是虚数单位),它们对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,若xy(x,yR),则xy1解析:选BC.对于A,z1和z2可能是相等的复数,故A错误;对于B,若z1和z2是共轭复数,则相加为实数,不会为虚数,故B正确;对于C,由abiabi得b0,

18、故C正确;对于D,由题可知,A(1,2),B(1,1),C(3,2),建立等式(3,2)(xy,2xy),即解得xy5,故D错误故选BC.10(多选)已知向量a(2,7),b(x,3),且a与b的夹角为钝角,则实数x的值可以为()A. B C. D1解析:选CD.a与b的夹角为钝角必须满足ab2x210且a与b不共线,把各选项逐项代入验证知,C,D符合要求11(多选)已知等边三角形ABC内接于O,D为线段OA的中点,则()A.B.C.D.解析:选AC.如图所示,设BC中点为E,则().故选AC.12(多选)已知P为ABC所在平面内一点,0,|2,则()AABC是直角三角形BABC是等腰三角形C

19、ABC的面积为2DABC的面积为解析:选AC.由|得,PBC是等腰三角形,取BC的中点D,连接PD,则PDBC,又0,所以()2,所以PDAB1,且PDAB,故ABBC,即ABC是直角三角形,由|2,|1可得|,则|2,所以ABC的面积为222.二、填空题13已知复数z满足z(1i)21i(i为虚数单位),则|z|_解析:因为z,所以|z|.答案:14(2019山东师大附中二模改编)已知向量a,b,其中|a|,|b|2,且(ab)a,则向量a和b的夹角是_,a(ab)_解析:由题意,设向量a,b的夹角为.因为|a|,|b|2,且(ab)a,所以(ab)a|a|2ab|a|2|a|b|cos 3

20、2cos 0,解得cos .又因为0,所以.则a(ab)|a|2|a|b|cos 326.答案:615(2019济南市学习质量评估)已知|a|b|2,ab0,c(ab),|dc|,则|d|的取值范围是_解析:不妨令a(2,0),b(0,2),则c(1,1)设d(x,y),则(x1)2(y1)22,点(x,y)在以点(1,1)为圆心、为半径的圆上,|d|表示点(x,y)到坐标原点的距离,故|d|的取值范围为0,2答案:0,216在ABC中,(3),则角A的最大值为_解析:因为(3),所以(3)0,(3)()0,24320,即cos A2,当且仅当|时等号成立因为0A,所以0A,即角A的最大值为.答案:

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