1、第二十四章 24.2.4 圆的切线长性质 知识点 1：切线长与切线长定理 切线长:经过圆外一点作圆的切线,该点和切点之间的线段的长,叫做该点到圆的切线长.切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,该点与圆心的连线平分两条切线的夹角.关键提醒:(1)切线与切线长是两个不同的概念,切线是直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量;(2)切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要依据.知识点 2：三角形的内切圆与内心 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,内心是三角形三条角平分线的交点.关键提
2、醒:(1)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,因此三角形的内心到三角形三边的距离相等;(2)“切”是说明三角形的边与圆的关系,而“内”是三角形与圆的相对位置,因此我们可以说这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形有唯一的内切圆,而圆有无数个外切三角形;(3)我们一定要从文字、图形、性质和实际意义上区别三角形的“外心”“内心”“内切圆”和“外接圆”等概念,以免混淆.来源:学,科,网 Z,X,X,K 一般情况下,三角形的内心、外心是两个不同的点,但等边三角形的内心、外心重合为一点.任意一个三角形的内心都在三角形内,而外心则不一定.考点 1：利用切线长 定理解决问题【例 1】如图,过半径为 150p
3、x 的O 外一点 P,引圆的切线 PA、PB,连接 PO 交O 于点F,过点 F 作O 的切线,分别交 PA、PB 于点 D、E.若 PO=250px,APB=74.求:(1)PED 的周长;来源:1(2)DOE 的度数.解:(1)连接 OA,则 OAPA,PA=8(cm).PA、PB、DE 是O 的切线,根据切线长定理知 PA=PB,DF=DA,EF=EB.PED 的周长=PD+DF+EF+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB=2PA=16(cm).(2)连接 OB,则有 OAPA,OBPB.根据切线长定理知ADO=EDO,BEO=DEO,AOD=FOD=AOF,BOE=FOE=BOF.
4、DOE=FOD+FOE=(AOF+BOF)=AOB.AOB=360-PAO-PBO-APB=360-90-90-74=106,DOE=106=53.点拨:(1)由切线长性质知 PA=PB,DA=DF,EF=EB,PED 的周长为 PA+PB,即 2PA.连接 OA,由切线的性质得 OAPA,利用勾股定理可求出 PA;(2)连接 OB,则ADO=EDO,BEO=DEO,进而得AOD=FOD=AOF,BOE=FOE=BOF,所以DOE=AOB,而在四边形 PAOB 中易求出AOB 的度数.考点 2：和三角形的内切圆相关的计算【例 2】在 RtABC 中,C=90,AC=6,BC=8.则ABC 的内
5、切圆半径为 .解答:方法一:连接 OA、OB、OC,SABC=SABO+SACO+SBCO,BCr+ACr+ABr=ACBC.r=2.来源:Z。xx。k.Com 方法二:设O 与ABC 相切于点 D、E、F,连接 OD、OF,ODAC,OFBC,C=90,OF=OD,四边形 OFCD 为正方形.来源:Z。xx。k.Com 设O 的半径为 r,BF=CF=8-r,AD=AE=6-r,AB=AE+BE=8-r+6-r=10.r=2.点拨:方法一:如图(1),利用面积法求解,把三角形 ABC 分割成三部分:BCO、CAO、ABO,再根据与ABC 的面积关系可以求出 r.来源:学_科_网 Z_X_X_K 方法二:根据切线长定理求解.由切线长定理可得 AD=AE,BE=BF,CF=CD.四边形 ODCF 为正方形,设O 的半径为 r,可列方程 6-r+8-r=10.求出 r=2.(1)(2)
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