1、第六节数学归纳法1数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立2数学归纳法的框图表示1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立()(2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用()(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项()(4)用数学归纳法证明等式“12
2、222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()答案(1)(2)(3)(4)2(2017杭州二中月考)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()A1B2C3D0C因为凸n边形最小为三角形，所以第一步检验n等于3，故选C.3已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2，且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()Ank1时等式成立Bnk2时等式成立Cn2k2时等式成立Dn2(k2)时等式成立Bk为偶数，则k2为偶数4(教材改编)已知an满足an1anan1，nN*，且a12，则a2_，a3_，a4_，猜想an_.345n15用数
3、学归纳法证明：“11)”由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项的项数是_. 【导学号：51062209】2k当nk时，不等式为1均成立证明(1)当n2时，左边1；右边.左边右边，不等式成立.4分(2)假设nk(k2，且kN*)时不等式成立，即.8分则当nk1时，.14分当nk1时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.15分规律方法1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他方法不容易证明，则可考虑应用数学归纳法2用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时命题成立，再证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加
4、以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化变式训练2已知数列an，当n2时，an1，又a10，aan11a，求证：当nN*时，an1a2.4分(2)假设当nk(kN*)时，ak1ak，6分aa(ak2ak1)(ak2ak11)，ak10.10分又ak2ak111(1)11，ak2ak10，ak2ak1，即当nk1时，命题成立由(1)(2)可知，当nN*时，an10，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性解(1)当n1时，由已知得a11，a2a120.a11(a10).2分当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a
5、220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*).7分(2)证明：由(1)知，当n1,2,3时，通项公式成立假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即ak.10分由于ak1Sk1Sk，将ak代入上式，整理得a2ak120，ak1，即nk1时通项公式成立.14分由可知对所有nN*，an都成立.15分规律方法1.猜想an的通项公式时应注意两点：(1)准确计算a1，a2，a3发现规律(必要时可多计算几项)；(2)证明ak1时，ak1的求解过程与a2，a3的求解过程相似，注意体会特殊与一般的辩证关系2“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问
6、题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性变式训练3(2017绍兴调研)已知数列xn满足x1，xn1，nN*.猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论. 【导学号：51062210】解由x1及xn1，得x2，x4，x6，由x2x4x6猜想：数列x2n是递减数列.4分下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，已证命题成立.6分(2)假设当nk(k1，kN*)时命题成立，即x2kx2k2，易知xk0，那么x2k2x2k40，12分即x2(k1)x2(k1)2.也就是说，当nk1时命题也成立结合(1)(2)知，对nN*命题成立.15分思想与方法1数学归纳法
7、是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学命题证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据2在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设此时既要看准目标，又要弄清nk与nk1之间的关系在推证时，应灵活运用分析法、综合法、反证法等方法易错与防范1第一步验证当nn0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值2由nk时命题成立，证明nk1时命题成立的过程中，一定要用归纳假设，否则就不是数学归纳法3解“归纳猜想证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础否则将会做大量无用功课时分层训练(三十五)数学归纳法A组基础
8、达标(建议用时：30分钟)一、选择题1用数学归纳法证明2n2n1，n的第一个取值应是()A1B2C3D4Cn1时，212,2113,2n2n1不成立；n2时，224,2215,2n2n1不成立；n3时，238,2317,2n2n1成立n的第一个取值应是3.2一个关于自然数n的命题，如果验证当n1时命题成立，并在假设当nk(k1且kN*)时命题成立的基础上，证明了当nk2时命题成立，那么综合上述，对于() 【导学号：51062211】A一切正整数命题成立B一切正奇数命题成立C一切正偶数命题成立D以上都不对B本题证的是对n1,3,5,7，命题成立，即命题对一切正奇数成立3在数列an中，a1，且Sn
9、n(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A.B.C.D.C由a1，Snn(2n1)an求得a2，a3，a4.猜想an.4凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1Bf(n)nCf(n)n1Df(n)n2C边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加(n1)条5用数学归纳法证明3(27k)能被9整除，证明nk1时，应将3(27k1)配凑成() 【导学号：51062212】A6217kB3(27k)21C3(27k)D21(27k)36D要配凑出归纳假设，故
10、3(27k1)3(277k)6217k21(27k)36.二、填空题6用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN*)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真2k1n为正奇数，假设n2k1成立后，需证明的应为n2k1时成立7用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上的项为_. 【导学号：51062212】(k21)(k22)(k1)2当nk时左端为123k(k1)(k2)k2，则当nk1时，左端为123k2(k21)(k22)(k1)2，故增加的项为(k21)(k22)(k1)2.8已知f(n)1(nN*)，经计算得f(4)2，f(8)
11、，f(16)3，f(32)，则其一般结论为_f(2n)(n2，nN*)因为f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以当n2时，有f(2n).故填f(2n)(n2，nN*)三、解答题9用数学归纳法证明：12(nN*，n2)证明(1)当n2时，12，命题成立.4分(2)假设nk时命题成立，即12.7分当nk1时，120)(1)求a2，a3，a4；(2)猜想an的通项公式，并加以证明. 【导学号：51062213】解(1)a2222(2)222，a3(222)3(2)222323，a4(2323)4(2)233424.6分(2)由(1)可猜想数列通项公式为：an(n1)n2n.8分下面用数
12、学归纳法证明：当n1,2,3,4时，等式显然成立，假设当nk(k4，kN*)时等式成立，即ak(k1)k2k，10分那么当nk1时，ak1akk1(2)2k(k1)k2kk12k12k(k1)k1k12k1(k1)1k12k1，所以当nk1时，猜想成立，由知数列的通项公式为an(n1)n2n(nN*，0).15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是()A若f(1)1成立，则f(10)100成立B若f(2)4时，f(n)_(用n表示)5(n1)(n2)(n3)f(
13、3)2，f(4)f(3)3235，f(n)f(3)34(n1)234(n1)(n1)(n2)(n3)3设数列an的前n项和为Sn，满足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的通项公式. 【导学号：51062214】解(1)由题意知S24a320，S3S2a35a320.2分又S315，a37，S24a3208.又S2S1a2(2a27)a23a27，a25，a1S12a273.综上知，a13，a25，a37.6分(2)由(1)猜想an2n1，下面用数学归纳法证明当n1时，结论显然成立；7分假设当nk(k1)时，ak2k1，则Sk357(2k1)k(k2)又Sk2kak13k24k，k(k2)2kak13k24k，解得2ak14k6，13分ak12(k1)1，即当nk1时，结论成立由知，nN*，an2n1.15分