1、2024届高三年级12月份数学学科测试试卷2023.12注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分.一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.设集合，集合，则（ ）A. B. C. D.2.在复平面内，为原点，为虚数单位，复数对应的向量，则（ ）A.3 B. C.2 D.3.已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.4.已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）A. B. C. D.5.Rhind Papyrus是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题，
2、请给出答案：把200个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）A. B. C. D.6.若直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点，且线段中点的横坐标为4，则（ ）A.12 B.14 C.16 D.187.已知圆，点是圆内一点，过点的圆的最短弦所在直线为，直线的方程为，则（ ）A.，且与圆相离 B.，且与圆相切C.，且与圆相交 D.，且与圆相离8.已知，则（ ）A. B. C. D.二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请把答案填
3、涂在答题卡相应位置上.9.甲乙两地12月初连续7天的日最高气温数据如图所示，则关于这7天，以下判断正确的是（ ）A.甲地日最高气温的平均数为 B.甲地日最高气温的极差为C.乙地日最高气温的众数为 D.乙地日最高气温的中位数为10.已知为正实数，则（ ）A.的最大值为1 B.的最小值3C.的最小值为 D.的最小值为11.在平行六面体中，分别是的中点，是线段上的两个动点，且，以为顶点的三条棱长都是1，则（ ）A.平面 B.C.三棱锥的体积是定值 D.三棱锥的外接球的表面积是12.定义在上的函数满足如下条件：；当时，.则（ ）A. B.在上是增函数C.是周期函数 D.三填空题：本题共4小题，每小题5
4、分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.“北依长江，南临太湖江苏之南，明珠无锡.总要来趟无锡吧”!某游客从鼋头渚梅园蠡园锡惠公园灵山胜境拈花湾六个景点中任选三个进行游览，则他选中鼋头渚的概率为_.14，若某圆锥高为4，其侧面积与底面积之比为3：1，则该圆锥的体积为_.15.已知函数图象上有一最低点，将此函数的图象向左平移个单位长度得的图象，若函数的图象在处的切线与的图象恰好有三个公共点，则的值是_.16.已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为_.四解答题：本题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
5、明证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）设内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，且的面积为，求角的角平分线的长.18.（本题满分12分）某大型公司招聘新员工，应聘人员简历符合要求之后进入考试环节.考试分为笔试和面试，只有笔试成绩高于75分的考生才能进入面试环节，已知2023年共有1000人参加该公司的笔试，笔试成绩.（1）从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人，求这4人中至少有一人进入面试的概率；（2）甲乙丙三名应聘人员进入面试环节，且他们通过面试的概率分别为.设这三名应聘人员中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.（参考数据：若，则，19.（本题满分12分）如图，在四
6、棱锥中，平面，点是的重心.（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.20.（本题满分12分）已知数列的首项，且满足，记.（1）证明：是等比数列；（2）记，证明；数列的前项和.21.（本题满分12分）将圆上各点的横坐标变为原来的5倍，纵坐标变为原来的4倍，所得的曲线为.记曲线与轴负半轴和轴正半轴分别交于两点，为轴上一点.（1）求曲线的方程；（2）连接交曲线于点，过点作轴的垂线交曲线于另一点.记的面积为，记的面积为，求的取值范围.22.（本题满分12分）已知函数.（1）求函数（其中）的单调区间；（2）若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围.12月数学测试参考答案1-
7、8BDCB BCAD9.AD 10.ABD 11.ACD 12.ABD13. 14. 15. 16.17.（1）由题设及正弦定理得.因为，所以.由，可得，故.因为，故，因此.（2）因为，所以设的角平分线交于，因为，所以，所以18.（1）记“至少有一人进入面试”，由已知得，所以，则即这4人中至少有一人进入面试的概率为0.499.（2）的可能取值为，则随机变量的分布列为0123所以.19.（1）证明：平面平面.又平面平面，又平面平面平面；（2）取中点为，连接，因为，则，即四边形为矩形，故，又平面平面，则可得两两垂直，故以为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，易证，又，所以点是的重心，
8、又，设平面的一个法向量，则，即，取，设与平面所成角为，.化简得，解得或或，即的长度为或.20.（1）因为，所以，所以，因为，所以；因为，所以，所以，所以是以5为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可得，因为，所以得证.21.（1）设曲线上任一点的坐标为，圆上的对应点的坐标为，由题意可得，因为，所以曲线的方程为；（2）连接交轴于点.直线，联立解得点，因为关于轴对称，所以所以直线，所以，所以因为，所以.法二：（转化为到的距离与到距离之比）22.（1），因为，所以当时，恒成立，此时在上单调递增；当时，.当时，恒成立，此时在上单调递增；当时，当时，当时，此时在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，的增区间为；无减区间；当时，增区间为；减区间为.（2）不等式对一切正实数恒成立，即对一切正实数恒成立.当时，则；当时，则.因此当时，恒成立.又当时，故当时，恒成立.下面讨论的情形.当且时，.设且记.当，即时，恒成立，故在及上单调递增.于是当时，又，故，即.当时，又，故，即.又当时，.因此当时，对一切正实数恒成立.当，即时，设的两个不等实根分别为.函数图像的对称轴为，又，于是.故当时，即，从而在在单调递减；而当时，此时，于是，即，因此当时，对一切正实数不恒成立.
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