1、2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角自主学习 知识梳理1平面向量数量积的坐标表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.即两个向量的数量积等于_2两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.3平面向量的模(1)向量模公式：设a(x1，y1)，则|a|_.(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|_.4向量的夹角公式设两非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则cos _. 自主探究已知两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示ab及|a|.对点讲练知识点一向量的坐标运算例
2、1已知a与b同向，b(1,2)，ab10.(1)求a的坐标；(2)若c(2，1)，求a(bc)及(ab)c.回顾归纳两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同同时本例进一步验证了平面向量的数量积不满足结合律变式训练1若a(2,3)，b(1，2)，c(2,1)，则(ab)c_；a(bc)_.知识点二向量的夹角问题例2已知a(1,2)，b(1，)，分别确定实数的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角回顾归纳由于两个非零向量a，b的夹角满足0180，所以用cos 来判断，可将分五种情况：cos 1，0；cos 0，90；cos 1，180；
3、cos 0且cos 1，为锐角变式训练2已知a(1，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，求的取值范围知识点三向量数量积坐标运算的应用例3已知在ABC中，A(2，1)、B(3,2)、C(3，1)，AD为BC边上的高，求|与点D的坐标回顾归纳在几何里利用垂直及模来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及模长列出方程组进行求解变式训练3以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角OAB，B90，求点B和的坐标1向量的坐标表示简化了向量数量积的运算为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持2应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及
4、长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.课时作业一、选择题1已知向量a(1,0)与向量b(1，)，则向量a与b的夹角是()A. B. C. D.2已知向量a(2,3)，b(5，1)，若manb (m0)与a垂直，则等于()A1 B0 C1 D23平面向量a与b的夹角为60，a(2,0)，|b|1，则|a2b|等于()A. B2 C4 D124若向量a与b不共线，ab0，且cab，则向量a与c的夹角为()A0 B. C. D.5已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()A. B.C. D.二、填空题6若平面向量a(1，2)与b的夹角
5、是180，且|b|4，则b_.7若a(2,3)，b(4,7)，则a在b方向上的投影为_8已知a(1，m)与b(n，4)共线，且c(2,3)与b垂直，则mn的值为_三、解答题9已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值10已知平面向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)且ab，ac.(1)求b和c；(2)若m2ab，nac，求向量m、n的夹角的大小2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角答案知识梳理1x1x2y1y2它们对应坐标的乘积的和2x1x2y1y203(1)(2)
6、4.自主探究解设i，j为相互垂直的两单位向量，ax1iy1j，bx2iy2j.ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2i2x1y2ijx2y1ijy1y2j2ii1，jj1，ijji0.abx1x2y1y2.a2(x1iy1j)2xy|a|2.|a|.对点讲练例1解(1)设ab(，2) (0)，则有ab410，2，a(2,4)(2)bc12210，ab122410，a(bc)0a0，(ab)c10(2，1)(20，10)变式训练1(16，8)(8，12)解析ab2(1)3(2)8，(ab)c8(2,1)(16，8)bc(1)2(2)14，a(bc)(2,3)(4)(8，12)例2解设a与b
7、的夹角为，则ab(1,2)(1，)12.(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos 0，所以ab0，所以120，所以.(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos 0且cos 1，所以ab0且a与b不反向由ab0得120，故0，且cos 1，所以ab0且a，b不同向由ab0，得，由a与b同向得2.所以的取值范围为(2，)变式训练2解a(1，1)，b(，1)，|a|，|b|，ab1.a，b的夹角为钝角，即.1且1.的取值范围是(，1)(1,1)例3解设D点坐标为(x，y)，则(x2，y1)，(6，3)，(x3，y2)，D在直线BC上，即与共线，存在实数，使，即(x3，y2)(6，3).x32(y2)，
8、即x2y10.又ADBC，0，即(x2，y1)(6，3)0，6(x2)3(y1)0.即2xy30由可得，即D点坐标为(1,1)，(1,2)|，即|，D(1,1)变式训练3解设B(x，y)，则|，B(x，y)，A(5,2)，|.又|，.可得10x4y29，又(x，y)，(x5，y2)，且，0x(x5)y(y2)0，即x25xy22y0，由解得或B或.或.课时作业1C2C(manb)ama2nab13m13n0，mn.3Ba(2,0)，故|a|2，|a2b|.ab|a|b|cos 601，|a2b|2.4Dacaaa(ab)0，a，c.5D设c(x，y)，则ca(x1，y2)，又(ca)b，2(y2)3(x1)0.又c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0.解得得x，y.6(4,8)解析由题意可设ba(，2)，0，矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.10解(1)ab，3x360.x12.ac，344y0.y3，b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)nac(3,4)(4，3)(7,1)设m、n的夹角为，则cos .0，即m、n的夹角为.