1、第二章平面向量1从位移、速度、力到向量知识点一向量的概念 填一填1向量的概念既有大小，又有方向的量叫作向量2向量的表示方法(1)具有方向和长度的线段，叫作有向线段以A为始点，以B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作|.(2)向量可以用有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向(3)向量也可以用黑体小写字母如a，b，c，来表示，书写用，来表示3向量的长度(模)|(或a)表示向量(或a)的大小，即长度(也称模)答一答1向量和有向线段有何区别与联系？提示：向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段它们的联系是：向量可以用有向线
2、段来表示，这条有向线段的长度就是向量的长度，有向线段的方向就是向量的方向它们的区别是：向量是可以自由移动的，故当用有向线段来表示向量时，有向线段的起点是任意的而有向线段是不能自由移动的，有向线段平移后就不是原来的有向线段了有向线段仅仅是向量的直观体现，是向量的一种表现形式，不能等同于向量知识点二4种重要的向量 填一填4(1)长度为零的向量叫作零向量，记作0或 ，它的方向与任一向量平行(2)与向量a同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0.(3)长度相等且方向相同的向量叫作相等向量，向量a与b相等，记作ab.规定所有的零向量相等(4)如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行
3、或重合，则称这些向量平行或共线，a与b平行或共线，记作ab.答一答2(1)为何可规定零向量与任意向量平行？(2)零向量与实数0相等吗？提示：(1)因为零向量的方向是任意的，可看成与任何向量的方向相同或相反，因此可规定零向量与任意向量平行(2)不相等因为向量既有大小又有方向，而实数0只是一个实数，即只有大小，而没有方向，因此不能认为两者相等1相等向量满足的两个条件(1)大小相等(2)方向相同2共线(平行)向量的含义(1)大小关系：不确定(2)方向：相同或相反(3)基线位置关系：可以平行，也可以重合3零向量满足的两个条件(1)大小等于零(2)方向是任意的4向量模的实质向量的模实质上是表示这个向量的
4、有向线段的长度，它是一个非负实数，虽然向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.类型一向量的有关概念 【例1】给出下列几种说法：(1)温度、速度、位移这些物理量都是向量；(2)若|a|b|，则ab或ab；(3)向量的模一定是正数；(4)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量其中正确的序号是_【思路探究】本题涉及了向量的几个重要概念解答时可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断对错【解析】(1)错误只有速度、位移是向量. (2)错误由|a|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系(3)错误.0的模|0|0.(4)正确对于一个向量只要不改变其大小和方向，是
5、可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同【答案】(4)规律方法 对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小又有方向，方向不能比较大小零向量是比较特殊的向量，解题时一定要看清是“零向量”还是“非零向量”判断下列说法是否正确，并说明理由(1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；(2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；(3)数轴是向量；(4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；(5)若向量a与b同向，且|a|b|，则ab.解：(1)不正确两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量必相等；反之，两个向量相等，却不一定有相同的起、止点(2)不正确两向量虽然有公共终
6、点，但方向不一定相同或相反，故不一定是共线向量(3)不正确数轴是一条具有方向的直线，但是没有大小(4)不正确规定零向量与任意向量平行(5)不正确因为向量不能比较大小类型二向量的表示方法 【例2】在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1)，用直尺画出下列向量：(1)，使|4，点A在点O北偏东45；(2)，使|4，点B在点A正东方向；(3)，使|6，点C在点B北偏东30.【思路探究】【解】(1)由于点A在点O北偏东45，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等又|4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量，如图所示(2)
7、由于点B在点A正东方向，且|4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量，如图所示(3)由于点C在点B北偏东30，且|6，依据直角三角形的性质可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为35.2，于是点C位置可以确定，画出向量，如图所示规律方法 作向量的思路用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点必要时，需依据直角三角形的知识求出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40方向行驶了200千米到达C点，最后改变方向
8、，向东行驶了100千米到达D点作出向量，.解：各向量如图所示类型三共线向量和相等向量 【例3】如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形(1)找出与向量相等的向量；(2)找出与向量共线的向量【思路探究】(1)找与向量相等的向量，就是找与长度相等且方向相同的向量(2)找与向量共线的向量，就是找与方向相同或相反的向量【解】(1)由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.(2)由题图可得，与方向相同，与方向相反，所以与向量共线的向量有，.规律方法 寻找共线向量与相等向量的方法如下：(1)寻找共线向量，先找与表示已知向量的有向线
9、段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量(2)寻找相等向量，先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些与已知向量同向共线下列命题中正确的是(C)A若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行解析：因为零向量与任一向量都共线，所以A不正确；因为两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，它们的始点与终点也就不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；易知D不正确；对于
10、C，由零向量与任一向量都共线知，若a与b不共线，则a与b都是非零向量，所以应选C.类型四向量的模 【例4】如图，A1、A2、A3、A8为O上的八个等分点，则在以A1，A2，A8及圆心O九个点中，任意两点为起点和终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径倍的向量有多少个？【解】(1)模等于半径的向量只有两类，一类是(i1,2，8)有8个；另一类是(i1,2，8)也有8个，共8216个(2)以A1，A2，A8为顶点的O的内接正方形有两个，一个是正方形A1A3A5A7，另一个是A2A4A6A8，在题中所述的向量中，只有这两个正方形边的长度为半径的倍，所以模为半径倍的向量共有42216个规律方
11、法 本题借助图形，先找线段的长度是否符合要求，长度符合要求的线段有多少条，模等于线段长的向量对应两个方向，即互为相反的两个向量如图所示，在梯形ABCD中，ABDC，ACBD，求证：|.证明：延长AB到E，使BEDC，连接CE.ABDC，四边形BDCE是平行四边形，BDEC.又ACBD，ACCE，1E.2和E是同位角，2E，1E2，ABCBAD，ADBC，|.易错警示对向量的有关概念理解不准致误【例5】给出下列几种叙述：(1)两个向量相等，则它们的始点相同，终点相同(2)若|a|b|，则ab.(3)若，则ABCD是平行四边形(4)平行四边形ABCD中，一定有.(5)若ab，bc，则ac.其中正确
12、的有_(填所有正确说法的序号)【错解】(1)(4)或(3)(4)或(4)(5)【正解】(1)错误两个向量相等，它们的始点和终点都不一定相同.(2)错误若|a|b|，则a与b方向未必相同，故a与b不一定相等(3)错误若，则A，B，C，D四个点有可能在同一条直线上，所以ABCD不一定是平行四边形.(4)正确平行四边形ABCD中，ABDC，ABDC且有向线段与方向相同，所以.(5)错误若ab，bc，b0，则a与c不一定平行.【错解分析】(1)(4)对向量的有关概念理解不正确或将向量和有向线段混淆，会在处判断错误；(3)(4)向量平行和直线平行混淆，导致处判断错误；(4)(5)忽视零向量与任意向量平行
13、导致处判断错误【答案】(4)【防范措施】1.正确理解向量的有关概念解答向量的有关问题时，要紧扣向量的定义，从向量的大小和方向两个角度分析问题如本例(2)(4)判断两个向量是否相等，就要判断方向和长度两个方面是否都相同2明确向量共线和平行与平面几何中的“共线”“平行”的区别共线向量和平行向量是同一概念，都是指方向相同或相反的向量理解时要注意与平面几何中的“共线”“平行”的区别如本例中(3)的判断，A，B，C，D四个点有可能共线3重视零向量的特殊性要特别注意零向量与任意向量平行，如本例对(5)的判断若忽视这一点就会出现错误下列说法中，正确的是(2)(1)始点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同(
14、2)始点相同，相等的两个非零向量的终点相同(3)两个平行的非零向量的方向相同(4)两个共线的非零向量的始点与终点一定共线解析：因为始点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故(1)不正确；又因为始点相同，相等的两个非零向量的终点相同，故(2)正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故(3)不正确；两个共线的非零向量的始点与终点不一定共线，故(4)不正确一、选择题1在下列判断中，正确的是(D)长度为0的向量是零向量；零向量的方向都是相同的；单位向量的长度都相等；单位向量都是同方向的；任意向量与零向量都共线A BC D解析：由定义知正确，由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同
15、向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确显然，正确，不正确，所以答案是D.2下列各量：密度；浮力；温度；风速其中向量有(C)ABCD解析：主要考查向量与数量的区别实际问题中的一些量(温度、功等)，尽管它们有正、负之分，但不是表示方向的，它们是数量，而向量是一个既有大小又有方向的量，如位移、速度、加速度、力等物理量由向量的概念可知：浮力和风速是向量，密度与温度是数量，故选C.3下列说法正确的是(C)A平行向量一定方向相同B共线向量一定相等C起点不同，但方向和模相等的向量一定是相等的向量D非零向量的单位向量是唯一的解析：本题考查向量的概念、向量相等及单位向量，解此题应紧紧抓住向量的定义及向量相等的定义平行向量除了方向相同以外，还可以方向相反，故A不对共线向量仅方向相同或相反，大小不一定相等，故B也不对任一非零向量a的单位向量为，故D不对C是对的，因为向量与起点的位置无关二、填空题4当向量a与任一向量b共线时，则a0.解析：由定义知0与任一向量共线5如图所示，在四边形ABCD中，且|，则四边形为菱形解析：解题的关键是把向量关系转化为几何关系，四边形ABCD为平行四边形又|，平行四边形ABCD为菱形三、解答题6设在平面上给定了一个四边形ABCD，点K，L，M，N分别为AB，BC，CD，DA的中点，求证：.证明：N，M分别为AD，DC中点， 同理.