1、第二十四章 24.1.2 垂直于弦的直径 知识点 1：圆的对称性和旋转不变性 1.圆的轴对称性:圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,因此圆有无数条对称轴.2.圆的中心对称性:圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.3.圆的旋转不变性:圆围绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合.知识点 2：垂径定理及其推论来源:1 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧.推论:如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质:过圆心;垂直于弦;平分弦;平分弦所对的劣弧;平分弦所对的优弧,那么这条直线就具有另外三个性质.注:作条件时,弦不能是直径.弦心距:从圆心到弦的距离叫弦心距,弦心
2、距也可以说成是圆心到弦的垂线段的长度.考点 1：运用垂径定理进行计算【例 1】如图,在半径为 2 的O 中,弦 AB 的长为 2,求圆心 O 到弦 AB 的距离.解:如图,过点 O 作 OMAB,垂足为 M,连接 OA、OB,则 AM=.在 RtAOM 中,OM=1,所以圆心 O 到弦 AB 的距离为 1.来源:Z,xx,k.Com 点拨:本题主要考查垂径定理.圆心 O 到弦 AB 的距离图中没有体现,需作圆心到弦的垂线段,将问题转化到直角三角形中解决.考点 2：垂径定理的实际应用【例 2】某地有一座圆弧形拱桥,拱桥圆心为点 O,桥下水面宽度为 7.2m,过点 O 作 OCAB,垂足为 D,交
3、圆弧于点 C,CD=2.4m.现有一艘宽 3m,船舱顶部为长方形并高出水面 AB2m 的货船要经过拱桥,此货船能否顺利通过这座拱桥?解:船能否通过,只要看船在桥下正中间时,船高是否小于图中的 FN.如图,表示桥拱,EF=3m.设 OD=xm.根据勾股定理,可得 2.4+x=,解得 x=1.5.所以圆的半径为 1.5+2.4=3.9(m).来源:学,科,网 Z,X,X,K 在直角OHN 中,根据勾股定理,可得 OH=3.6(m).来源:Zxxk.Com 所以 FN=HD=OH-OD=3.6-1.5=2.1(m).因为2m2.1m,仅有 0.1m 的余量,因此货船可以通过这座拱桥,但要非常小心.点
4、拨:货船能否顺利通过该桥,首先要看宽度和高度是否小于石拱桥的宽度和拱顶高,其次关键在于看船舱顶部两角是否被拱顶拦住(如图).利 用垂径定理先计算圆的半径,然后假设弦MN=3,计算 NF 的长与2m 比较,若 NF 大于 2m,则船能顺利通过,反之则不能顺利通过.考点 3：圆的对称性【例 3】将一圆形纸片对折后再对折,得到如图 24.1-3 所示的图形,然后沿着图中的虚线剪开,得到两部分,其中一部分展开后的平面图形是().来源:1ZXXK 答案:C.点拨:我们可以动手试一试,即可获得答案,又可通过分析做出选择.由于圆是轴对称图形,结合题中方法两次对折后,得到一个四分之一圆,沿虚线剪开,因此四条虚线相等,故为菱形.
