1、海安市实验中学20202021学年第一学期第三次学情检测高三数学一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题四个选项中只有一项符合题意。1已知全集为R，集合Ax()x1，Bx2x26x80，则ARB ( )Axx0 Bx2x4 Cx0x2或x4 Dx0x2或x4 2已知z(i为虚数单位)，则z的共轭复数为 ( )A2i B2i C2i D2i3设xR，则“x38”是“x2”的_条件 ( )A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要4声音大小(单位为分贝)取决于声波通过介质时，所产生的压力变化(简称声压，单位为N/m2)已知声压x与声音大小y的关系式为y10lg()2，且根据
2、我国工业企业噪声卫生标准规定，新建企业工作地点噪声容许标准为85分贝若某新建企业运行时测得的声音为80分贝，则该企业的声压为 ( )A20 N/m2 B5 N/m2 C0.5 N/m2 D0.2 N/m2 5过点(1，1)的直线l与圆x2y24x0交于A，B两点，则AB的最小值为 ( )A B2 C2 D46已知0mn1，不等式()m()n；mn；logmlogn中正确的个数是 ( )A3个 B2个 C1个 D0个7在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1中点，则EF与C1D所成角为 ( )A90 B60 C45 D308我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理
3、了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周牌算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽，大如图，正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，E为BF的中点，则 ( )A B C D二选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9已知函数f (x)2cos2xsin2x1(0)的最小正周期为，则下列正确的有 ( )A2 B函数f (x)在0，上为增函数 C直线x是yf(x)图象的一条对称轴
4、D点(，0)是yf (x)图象的一个对称中心102020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在疫情防控常态化背景下，某大型超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好的提高服务质量，收集并整理了本超市2020年1月份到8月份线上收入和线下收入的数据，绘制如下的折线图，根据折线图，下列正确的是 ( )A这8个月中，线上收入的平均值高于线下收人的平均值B这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月C这8个月中，每月总收入与时间呈现负相关D从这8个月的收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费11己知双曲线E：1(a0，b0)的一条渐近线过点P(，)，点F为双曲线E的右焦
5、点，则下列结论正确的是 ( )A双曲线E的离心率为 B双曲线E的渐近线方程为xy0C若点F到双曲线E的渐近线的距离为，则双曲线E的方程为1D设O为坐标原点，若POPF，则POF的面积为12设函数f (x)minx2，x2，x2，其中minx，y，z表示x，y，z中的最小者下列正确的有 ( )A函数f (x)为偶函数 Bf (4)2C当xR时，f f (x)f (x) D当x4，4时，f (x)2f (x)三填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分其中第16题第一空2分，第二空3分)13数列an是公比为2的等比数列，其前n项和为Sn，若S52S41，则 a1a3_14(x1)(x)6的展开
6、式中的常数项是_15若函数f (x)满足当x0时，f (x)3x，当x0时，f (x)f (x1)，则f (log32)_16某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示)该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为8的正方体的6个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)若其中一长个截面圆的周为6p，则该球的半径为_； 现定义：球面部被平面所截得的一分叫做球冠截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高如果球面的半径是R，球冠的高是 h，那么球冠的表面积计算公式是S=2pRh由此可知，实心工艺品的表面积是_四解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出了文字说明、
7、证明过程或演算步骤。17(本小题满分10分)在(ab)(ab)(ac)c，2ac2bcosC，(abcosC)csin B三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若_，b2求ac的取值范围18(本小题满分12分)已知数列an的前n项和S，满足3Sn12an(1) 求数列an的通项公式；(2) 记bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Sn19(本小题满分12分)如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FAFC，AB2，且DABDBF60(1) 求证：ACBF；(2) 求二面角EAFB的余弦值0.0340.0300.0100.0080.01
8、20.006频率组距跳绳个数20(本小题满分12分)2020年8月，体育总局和教育部联合提出了关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见某地区为落实该意见，初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图(如图所示)，且规定计分规则如下表：每分钟跳绳个数155，165)165，175)175，185)185，215得分17181920(1) 现从样本的100名学生中，任意选取2人，求
9、两人得分之和不大于35分的概率；(2) 若该校初三年级所有学生的跳绳个数XN(，2)，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差已知样本方差s2169(各组数据用中点值代替)根据往年经验，该校初三年级学生经过训练，正式测试时跳绳个数都有明显进步假设中考正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型： 全年级有1000名学生，预估正式测试每分钟跳182个以上人数；(结果四舍五入到整数) 若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为Y， 求随机变量Y的分布列和期望附：若XN(，2)，则P(|X|)0.6826，P(|X|2)0.
10、9544，P(|X|3)0.997421(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：1(ab0)过点(1，)，顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为4，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆E上的两点(1) 若x1x2，且OAB 为等边三角形，求OAB 的边长；(2) 若x1x2，是否存在点A，B，使OAB为等边三角形，若存在，求点A，B，若不存在，说明理由22(本小题满分12分)已知函数f (x)，其中aR(1) 当a0时，求曲线yf (x)在点(1，f (1)的切线方程；(2) 求证：若f (x)有极值，则极大值必大于0第4页（共7页）海安市实验中学20202021学
11、年第一学期第三次学情检测高三数学答案一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题四个选项中只有一项符合题意。1已知全集为R，集合Ax()x1，Bx2x26x80，则ARB ( )Axx0 Bx2x4 Cx0x2或x4 Dx0x2或x4 2已知z(i为虚数单位)，则z的共轭复数为 ( )A2i B2i C2i D2i3设xR，则“x38”是“x2”的_条件 ( )A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要4声音大小(单位为分贝)取决于声波通过介质时，所产生的压力变化(简称声压 ，单位为N/m2). 已知声压x与声音大小y的关系式为y10lg()2，且根据我国工业企业噪声卫生标
12、准规定，新建企业工作地点噪声容许标准为85分贝若某新建企业运行时测得的声音为80分贝，则该企业的声压为 ( )A20 N/m2 B5 N/m2 C0.5 N/m2 D0.2 N/m2 5过点(1，1)的直线l与圆x2y24x0交于A，B两点，则AB的最小值为 ( )A B2 C2 D46已知0mn1，不等式()m()n；mn；logmlogn中正确的个数是 ( )A3个 B2个 C1个 D0个7在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1中点，则EF与C1D所成角为 ( )A90 B60 C45 D308我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明
13、是东汉数学家赵爽在为周牌算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽，大如图，正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，E为BF的中点，则 ( )A B C D答案：1D 2C 3A 4D 5C 6B 7B 8A 二选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9已知函数f (x)2cos2xsin2x1(0)的最小正周期为，则下列正确的有 ( )A2 B函数f (x)在0，上为增函数 C直线
14、x是yf(x)图象的一条对称轴 D点(，0)是yf (x)图象的一个对称中心102020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在疫情防控常态化背景下，某大型超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好的提高服务质量，收集并整理了本超市2020年1月份到8月份线上收入和线下收入的数据，绘制如下的折线图，根据折线图，下列正确的是 ( )A这8个月中，线上收入的平均值高于线下收人的平均值B这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月C这8个月中，每月总收入与时间呈现负相关D从这8个月的收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费11己知双曲线E：1(a0，b0)的一条渐近线过
15、点P(，)，点F为双曲线E的右焦点，则下列结论正确的是 ( )A双曲线E的离心率为 B双曲线E的渐近线方程为xy0C若点F到双曲线E的渐近线的距离为，则双曲线E的方程为1D设O为坐标原点，若POPF，则POF的面积为12设函数f (x)minx2，x2，x2，其中minx，y，z表示x，y，z中的最小者下列正确的有 ( )A函数f (x)为偶函数 Bf (4)2C当xR时，f f (x)f (x) D当x4，4时，f (x)2f (x)变式 设函数f (x)minx2，x2，x2，其中minx，y，z表示x，y，z中的最小者下列正确的有 ( )A函数f (x)为偶函数 B当x1，)时，有f (
16、x2)f (x) C当xR时，f f (x)f (x) D当x4，4时，f (x)2f (x)答案：9BD 10ABD 11ABC 12AB三填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分其中第16题第一空2分，第二空3分)13数列an是公比为2的等比数列，其前n项和为Sn，若S52S41，则 a1a3_14(x1)(x)6的展开式中的常数项是_15若函数f (x)满足当x0时，f (x)3x，当x0时，f (x)f (x1)，则f (log32)_16某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示)该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为8的正方体的6个面所截后剩余的部分(球心与
17、正方体的中心重合)若其中一长个截面圆的周为6p，则该球的半径为_； 现定义：球面部被平面所截得的一分叫做球冠截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高如果球面的半径是R，球冠的高是 h，那么球冠的表面积计算公式是S=2pRh由此可知，实心工艺品的表面积是_答案：135 1420 156 165，94四解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出了文字说明、证明过程或演算步骤。17(本小题满分10分)在(ab)(ab)(ac)c，2ac2bcosC，(abcosC)csin B三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若_，
18、b2求ac的取值范围解析 若选，由(ab)(ab)(ac)c有a2c2b2ac，由余弦定理有cosB，因为B(0，)，所以B， 4分由正弦定理有4，所以a4sinA，c4sinC， 6分所以ac4sinA4sinC4sinA4sin(A)6sinA2cosA4sin(A)，8分因为A(0，)，所以A(，)，于是sin(A)(，1，所以ac(2，4，即ac的取值范围是(2，4 10分若选，由2ac2bcosC，及正弦定理有2sinAsinC2sinBcosC，由ABC有2sin(BC)sinC2sinBcosC，整理得sinC2cosBsinC，因为sinC0，所以cosB，因为B(0，)，所以
19、B，以下同 4分若选，由(abcosC)csin B，及正弦定理有sinAsinBcosCsinCsinB，由ABC有sin(BC)sinBcosCsinCsinB，整理得cosBsinCsinCsinB，因为sinC0，cosB0，所以tanB，因为B(0，)，所以B，以下同 4分18(本小题满分12分)已知数列an的前n项和S，满足3Sn12an(1) 求数列an的通项公式；(2) 记bn(2n1)an，求数列bn的前n项和Sn解析 (1)当n1时，由3Sn12an有3S112a1，所以a11， 2分当n2时，由3Sn12an有3Sn112an1， 所以3an2an2an1，整理得an2a
20、n1，所以数列an是以1为首项2为公比的等比数列，所以an(2)n1； 5分(2) 由(1)有bn(2n1)2n1，所以 Sn120321522(2n1)2n1， 2得 2Sn 121322(2n3)2n1(2n1)2n， 得Sn120221222 22n1 (2n1)2n， 12(2n1)2n322n(2n1)2n3(32n)2n 所以Sn(2n3)2n3 12分19(本小题满分12分)如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FAFC，AB2，且DABDBF60(1) 求证：ACBF；(2) 求二面角EAFB的余弦值解析(1)证明：设AC与BD相交于O点，连接FO，因为四边形ABCD为菱形，
21、所以ACBD，O为AC的中点， 因为FAFC，所以ACOF， 2分又OFBDO，OF，BD平面BDEF，所以AC平面BDEF， 4分又因为BF平面BDEF，所以ACBF； 5分(2) 连接DF，因为四边形BDEF为菱形，且DBF60，所以DBF为等边三角形，O为BD中点，所以OFBD，即OA，OB，OF两两垂直，以点O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OF为z轴建立空间直角坐标系，6分因为AB2，DAB60，所以ABBDBF2，OF，则A(，0，0)，B(0，1，0)，F(0，0，)，E(0，2，)，设平面AEF的法向量为(x1，y1，z1)，因为(，2，)，(，0，)，所以，令x11，得y
22、10，z11，所以(1，0，1)， 8分设平面AFB的法向量为(x2，y2，z2)，因为(，1，0)，(，0，)，所以，令x21，得y2，z21，所以(1，1)， 10分所以cos，因为二面角EAFB为钝角，所以其余弦值为 12分0.0340.0300.0100.0080.0120.006频率组距跳绳个数20(本小题满分12分)2020年8月，体育总局和教育部联合提出了关于深化体教融合，促进青少年健康发展的意见某地区为落实该意见，初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分某学校在初三
23、上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图(如图所示)，且规定计分规则如下表：每分钟跳绳个数155，165)165，175)175，185)185，215得分17181920(1) 现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；(2) 若该校初三年级所有学生的跳绳个数XN(，2)，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差已知样本方差s2169(各组数据用中点值代替)根据往年经验，该校初三年级学生经过训练，正式测试时跳绳个数都有明显进步假设中考正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用
24、所得正态分布模型： 全年级有1000名学生，预估正式测试每分钟跳182个以上人数；(结果四舍五入到整数) 若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为Y， 求随机变量Y的分布列和期望附：若XN(，2)，则P(|X|)0.6826，P(|X|2)0.9544，P(|X|3)0.9974解析(1) 由频率分步直方图得，得分为17，18的人数分别为6人，12人，所以两人得分之和不大于35分为两人得分均为17分，或两人中1人17分1人18分，所以P 3分(2) 1600.061700.121800.341900.302000.12100.08185 5分又2169，13，
25、所以正式测试时，195，13，所以182， 所以P(X182)0.68260.8413，所以0.84131000841.3841人； 7分 由正态分布模型，任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为，即YB(3，)，所以P(Y0)()0(1)3，P(Y1)()1(1)2，所以P(Y2)()2(1)1，P(Y3)()3(1)0， 9分所以Y的分布列为Y0123P所以E(Y)0123 11分答：(1) 两人得分之和不大于35分的概率为； (2) 每分钟跳182个以上人数为841；随机变量Y的期望 12分21(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：1(ab0)过点(1，)，顺次连接
26、椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为4，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆E上的两点(1) 若x1x2，且OAB 为等边三角形，求OAB 的边长；(2) 若x1x2，是否存在点A，B，使OAB为等边三角形，若存在，求点A，B，若不存在，说明理由第1页（共9页）解析(1) 依题意1，4(ab)4，解得a24，b21，故椭圆E的方程为y21， 3分由x1x2且OAB为等边三角形可知，直线OA和OB与x轴的夹角均为30，由yx与y21联立得7x212，所以x1， 5分因为OAB的边长为x1，所以PAB的边长为； 6分(2) 假设存在A，B，使OAB为等边三角形，记AB中点为Q(x0，y0)，则
27、OQAB， 7分因为x1x2，所以直线AB斜率存在，设直线AB：ykxm，AB中点为Q(x0，y0)，联立y21与ykxm，消去y得(34k2)x28kmx4m240，所以x1x2， 9分因为AB中点为Q(x0，y0)，所以x0，y0kx0m，所以kOQ，于是kOQkABk，所以OQ与AB不垂直， 11分所以当x1x2时，不存在点A，B，使OAB为等边三角形 12分22(本小题满分12分)已知函数f (x)，其中aR(1) 当a0时，求曲线yf (x)在点(1，f (1)的切线方程；(2) 求证：若f (x)有极值，则极大值必大于0解析(1) 函数f (x)的导数f (x)， 2分当a0时，f
28、 (1)，f (1)， 4分 则f (x)在(1，f (1)的切线方程为y(x1)，即y， 5分(2) 证明：令f (x)0，解得x2或xa， 当a2时，f (x)0恒成立，所以函数f (x)在R上单调递减，无极值； 6分 当a2，即a2时，x(，a)a(a，2)2(2，)f (x)f (x)单调递减单调递增单调递减所以函数f (x)存在极值，函数f (x)的极大值为f (2)0， 9分 当a2，即a2时，x(，2)2(2，a)a(a，)f (x)f (x)单调递减单调递增单调递减所以函数f (x)存在极值，函数f (x)的极大值为f (a)aea0， 综上，当f (x)有极值时，函数f (x)的极大值必大于0 12分
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