1、第二章 推理与证明一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列表述正确的是()归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理ABCD解析：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，故正确答案：D2类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是()各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，
2、相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等ABCD解析：比较恰当的是，而中边对面时，内角应对应面面所成的角答案：B3已知ABC中，A30，B60，求证ab.证明：A30，B60，AB，ab，画线部分是演绎推理的()A大前提B小前提C结论D三段论解析：由题意知，该推理中的大前提为：三角形中大角对大边；小前提为：AB；结论为ab.故选B.答案：B4观察式子：1，1，1，则可归纳出一般式子为()A. 1(n2)B. 1(n2)C. 1(n2)D. 1(n2)解析：由合情推理可得答案：C5有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f(x0)
3、0，那么xx0是函数f(x)的极值点，因为f(x)x3在x0处的导数值f(0)0，所以x0是函数f(x)x3的极值点以上推理中()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正确解析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析其大前提的形式：“对于可导函数f(x)，如果f(x0)0，那么xx0是函数f(x)的极值点”，不难得到结论因为大前提是：“对于可导函数f(x)，如果f(x0)0，那么xx0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f(x0)0，且满足当xx0时和当xx0时的导函数值异号
4、，那么xx0是函数f(x)的极值点，所以大前提错误答案：A6用反证法证明“方程ax2bxc0(a0)至多有两个解”的假设中，正确的是()A至多有一个解B有且只有两个解C至少有三个解D至少有两个解解析：“至多n个”的反设应为“至少n1个”故选C.答案：C7若a，b，c均为实数，则下面四个结论均是正确的：abba；(ab)ca(bc)；若abbc，b0，则ac0；若ab0，则a0或b0.对向量a，b，c，用类比的思想可得到以下四个结论：abba；(ab)ca(bc)；若abbc，b0，则ac；若ab0，则a0或b0.其中结论正确的有()A0个B1个C2个D3个解析：利用类比思想结合向量的定义及性质
5、，特别是向量的数量积的定义可知正确，不正确答案：B8已知x0，不等式x2，x3，x4，可推广为xn1，则a的值为()An2BnnC2nD22n2解析：由x2，xx3，xx4，可推广为xn1，故ann.答案：B9分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设abc，且abc0，求证：a”最终的索因应是()Aab0Bac0C(ab)(ac)0D(ab)(ac)0解析：要证a只需证b2ac3a2abc0，bac只需证(ac)2ac3a2只需证(ca)(c2a)0只需证(ca)(cabc)0只需证(ca)(ab)0只需证(ab)(ac)0故选C.答案：C10命题：在三角形中，顶点与对边中点连线所得三线段
6、交于一点，且分线段长度比为21，类比可得在四面体中，顶点与所对面的_连线所得四线段交于一点，且分线段比为_()A重心31B垂心31C内心21D外心21解析：由四面体的性质可得结论为A.答案：A11古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数比如：他们研究过(1)中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，(2)中的1,4,9,16，这样的数称为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A289B1 024C1 225D1 378解析：由图形可得三角形数构成的数列通项an(n1)，正方形数构成的数列通项bnn2，则由bnn2(nN*)可排除D.又由an(n
7、1)，当an289时，即验证是否存在nN*，使得n(n1)578，经计算n不存在；同理，依次验证，有1 22524950，且3521 225，故选C.答案：C12有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是()A甲B乙C丙D丁解析：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意；若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意；若丁是获奖的歌手，则甲、丙、丁都说假话，乙说真话，不符合题意，故获奖的歌手是丙答案：C二、填空题(本大题
8、共4小题，每小题4分，共16分请把正确的答案填在题中的横线上)13“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分”以上推理的大前提是_答案：菱形的对角线互相垂直且平分14已知x，yR，且xy2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x，y均不大于1”，亦即“x1且y1”答案：x，y均不大于1(或者x1且y1)15观察下列不等式1，1，1，照此规律，第五个不等式为_解析：先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母
9、即为所对应项数，故应填1.答案：116观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图形中有_个小正方形解析：第1个图中有3个小正方形，第2个有336个小正方形，第3个有6410个小正方形，第4个图形有10515个小正方形，第5个图形有15621个小正方形，第6个图形中有21728个小正方形答案：28三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)当a，b为正数时，求证：.证明：因为一个实数的平方是非负数，而2是一个实数的平方，所以是非负数，即0，所以.18(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成
10、立(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行解析：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交结论是正确的，证明如下：设，且a，则必有b，若与不相交，则必有.又，与a矛盾，必有b.(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交19(本小题满分12分)已知|x|1，|y|1，用分析法证明：|xy|1xy|.证明：要证|xy|1xy|，即证(xy)2(1xy)2，即证x2y21x2y2，即证(x21)(1y2)0，因为|x|1，|y|1
11、，所以x210,1y20，所以(x21)(1y2)0，不等式得证20(本小题满分12分)已知非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证：，不能构成等差数列证明：假设，能构成等差数列，则，因此b(ac)2ac.而由于a，b，c构成等差数列可得2bac，(ac)24ac，即(ac)20，于是得abc，这与a，b，c构成公差不为0的等差数列矛盾故假设不成立，即，不能构成等差数列21(本小题满分13分)ABC中，三边a，b，c成等比数列求证：acos2ccos2b.证明：a，b，c成等比数列，b2ac.acos2ccos2(ac)(acos Cccos A)(ac)(ac)bbb.acos2cc
12、os2b.22(本小题满分13分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解析：方法一：(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151 sin 301 .(2)三角
13、恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30) .证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2 cos2 sin cos sin2 sin cos sin2 sin2 cos2 .方法二：(1)同方法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30) .证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30) sin (cos 30cos sin 30sin ) cos 2 (cos 60cos 2sin 60sin 2) sin cos sin2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 (1cos 2)1cos 2 cos 2 .