1、6.4.3 余弦定理、正弦定理 第3课时 余弦定理、正弦定理的应用举例 第六章 平面向量及其应用 人教2019A版必修 第二册 1、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（其中：R为ABC的外接圆半径）2、正弦定理的变形：CRcBRbARasin2,sin2,sin2RcCRbBRaA2sin,2sin,2sincbaCBA:sin:sin:sin复习巩固 CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222abcbaCcabacBbcacbA2cos2cos2cos2222222223.余弦定理：在 中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记
2、熟并灵活地加以运用：ABC;CBACBACBAcos)cos(,sin)sin(2sin2cos,2cos2sinCBACBA 在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,遥不可及的月亮离地球有多远呢?1671年,两个法国天文学家测出了地球与月球之间的距离大约为385 400km,他们是怎样测出两者之间距离的呢？在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？情境引入 正余弦定理应用一 测量距离 1.如图1测量者在A同侧，如何测定河不同岸两点A、B间的距离？2.如图2测量者在A，B对侧，如何测定河不
3、同岸两点A、B间的距离？一点不可到达测量距离问题两点不可到达测量距离问题AB图1AB图2例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，BAC51o，ACB75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形BACCABsinsin例题讲解 注意：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线。例如AC就是基线 解：根据正弦定理，得ABCACACBABsinsin)(7.6554sin75sin55)7551180sin(75sin55sinsin55sinsinmABCACB
4、ABCACBACAB答：A,B两点间的距离为65.7米。例2.如图，A，B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A，B两点间的距离的方法.并求出A，B间的距离。第一步：测量者可以在河岸边选定两点C，D，CD作为基线 第三步：在ADC和BDC中，对照例1应用正弦定理得出AC,BC的长 第二步：测得CD=a，并且在C，D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA=，第四步：在ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离 解：在ADC和BDC中，应用正弦定理得sin()sin()sin()sin 180()aaAC；sinsin.sin()sin 180()aaBC于是，在ABC中，应用余
5、弦定理可得A，B两点间的距离222cos.ABACBCACBC）sin(sin(cossin)sin(2(sinsin(sin)(sin2222222aaa方法总结距离测量问题包括(一个不可到达点)和(两个不可到达点)两种 设计测量方案的基本原则是：能够根据测量所得的数据计算所求两点间的距离，计算时需要利用(正、余弦定理)。正余弦定理应用二 测量高度 例1.如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。二：底部不可到达的建筑物的高度想一想？在图中我们选择哪条线段作为基线？分析：由锐角三角函数知识可知，只要获得 一点C（点C到地
6、面的距离可求）到建筑物的顶 部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高度.为此，应再选取一 点D,构造另一个含有CA的并进行相 关的长度和角度的测量，然后通过解三角形的方 法计算出CA.解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得 asinAC=sin（-）AB=AE+h=ACsin+hasinsin=+h.sin（-）例2.如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角 =5440，在塔底C处测得A处的俯角=501,已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求
7、出山高CD(精确到1 m).根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？分析:若在 ABD中求BD，则关键需要求出哪条边呢？那又如何求BD边呢？想一想？在图中我们选择哪条线段作为基线？解：在ABC中，BCA=90+,ABC=90-,BAC=-,BAD=根据正弦定理，BCAB=，sin（-）sin（90）BCsin（90）BCcos所以AB=sin（-）sin（-）解RtABD，得BCc+ossinBD=ABsinBAD=.sin（-）正余弦定理应用二 角度问题 三.角度问题 例3.位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘 渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往营救，同时
8、把消息告知位于甲船 南偏西 且与甲船相距7 n mile的C处的乙船，那么乙船前往营救遇险 渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到 ）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？301解：根据题意，画出示意图，如图。由余弦定理，得 120cos2222ACABACABBC)21(720272022589由于 由正弦定理，得 因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东 大约需要航行24n mile.于是 于是 所以)(24 nmileBC 900C1235242320sinC 46C24120sin20sinC7630461、在海岸A处，发现北偏东45
9、方向，距离A处(1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile的速度追截走私船此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？随堂练习【解析】设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船，画出示意图，则有 CD10 3t，BD10t，在ABC 中，AB 31，AC2，BAC120，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC(31)2222(31)2cos 1206，BC 6，且 sinABCACBCsinBAC 26 32 22，ABC45，BC 与正北方向成 90角CBD9030120，在BCD 中，由正弦定理，得sinBCDBDsinCBDCD10tsin 12010 3t12，BCD30.即缉私船沿北偏东 60方向能最快追上走私船.小结