1、-1-习题课三角恒等变换 课标阐释 思维脉络 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.课前篇自主预习 1.填空:(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin()=sin cos cos sin,cos()=cos cos sin sin,tan()=tantan1tantan.(2)倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2=2sin cos,cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2,tan 2=2ta
2、n1-tan2.课前篇自主预习(3)有关公式的逆用、变形 tan tan=tan()(1tan tan);cos2=1+cos22,sin2=1-cos22;1+sin 2=(sin+cos)2,1-sin 2=(sin-cos)2,sin cos=2sin 4.2.做一做:(1)为锐角,且 cos=33,则 cos +6=.(2)若 tan(+)=3,tan(-)=5,则 tan 2=.答案:(1)12 66 (2)-47课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测 三角函数的化简求值 例 1 求值:1+cos202sin20-sin 10 1tan5-tan5.解:原
3、式=2cos21022sin10cos10-sin 10 cos5sin5-sin5cos5=cos102sin10-sin 10cos25-sin25sin5cos5=cos102sin10-sin 10 cos1012sin10=cos102sin10-2cos 10=cos10-2sin202sin10=cos10-2sin(30-10)2sin10=cos10-2 12cos10-32 sin10 2sin10=3sin102sin10=32.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测 反思感悟三角函数化简与求值的基本思路(1)化为特殊角的三角函数值;(2)化为
4、正、负相消的项,消去求值;(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测 变式训练 1 化简:2cos4-2cos2+122tan 4-sin2+4.解:原式=2cos2(cos2-1)+122tan 4-cos2 4-=-4cos2sin2+14cos 4-sin 4-=1-sin222sin 2-2=cos222cos2=12cos 2x.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测 三角函数的条件求值 例 2 已知函数 f(x)=Asin +3,xR,且 f 512=3 22.(1)求 A 的值;(2)若
5、 f()-f(-)=3,0,2,求 f 6-.分析:(1)由 f 512=3 22,直接求 A 值;(2)由 f()-f(-)=3,求得 角的三角函数,再求 f 6-的值.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测 解:(1)f(x)=Asin +3,且 f 512=3 22,Asin 512+3=3 22 Asin34=3 22 A=3.(2)由(1)知 f(x)=3sin +3,f()-f(-)=3,3sin +3-3sin-+3=3,展开得 3 12 sin+32 cos-3 32 cos-12 sin=3,化简得 sin=33.0,2,cos=63.f 6-=3
6、sin 6-+3=3sin 2-=3cos=6.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测 反思感悟给值求值问题的解题思路(1)化简所求式子.(2)观察所求式子与已知条件之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测 延伸探究若将例 2 条件改为“f(x)=Asin x+4,且 f 512=32”,如何求解?解:(1)f 512=Asin 512+4=32,32 A=32,即 A=3.(2)由(1)知 f(x)=3sin +4,又 f()-f(-)=3,sin +4-sin-
7、+4=1,即 sin +4+sin-4=1.2sin cos4=1,sin=22.又 0,2,=4.f 6-=f-12=3sin-12+4=3sin6=32.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测 给值求角问题 例 3 已知函数 f(x)=tan 2+4.(1)求 f(x)的定义域与最小正周期;(2)设 0,4,若 f 2=2cos 2,求 的大小.分析:利用二倍角公式化简求解.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测 解:(1)由 2x+4k+2,kZ,得 x8+2,kZ,所以 f(x)的定义域为 R 8+2,Z.f(x)的最小正周期为2
8、.(2)由 f 2=2cos 2,得 tan +4=2cos 2,即sin+4 cos+4=2(cos2-sin2),整理得sin+coscos-sin=2(cos-sin)(cos+sin),因为 sin+cos 0,所以可得(cos-sin)2=12,解得 sin 2=12,由 0,4,得 2 0,2,所以 2=6,=12.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测 反思感悟给值求角问题的求解策略 给值求角实质上也转化为给值求值,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范
9、解答 当堂检测 变式训练 2 设,为钝角,且 sin=55,cos=-3 1010,则+的值为()A.34B.54C.74D.54 或 74解析:,为钝角,sin=55,cos=-3 1010,cos=-2 55,sin=1010,cos(+)=cos cos-sin sin=22 0.又+(,2),+32,2,+=74.答案:C 课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测 三角变换的综合应用 例 4 已知函数 f(x)=2asin xcos x+2 3cos2x-3(a0,0)的最大值为 2,且最小正周期为.(1)求函数 f(x)的解析式及其对称轴方程;(2)若 f(
10、)=43,求 sin 4+6 的值.解:(1)f(x)=asin 2x+3cos 2x=2+3sin(2x+),由题意知 f(x)的周期为,由22=,知=1;由 f(x)最大值为 2,故 2+3=2,又 a0,a=1,f(x)=2sin 2+3;令 2x+3=2+k(kZ),解得 f(x)的对称轴为 x=12+2(kZ).课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测(2)由 f()=43,知 2sin 2+3=43,即 sin 2+3=23,sin 4+6=sin 2 2+3-2=-cos 2 2+3=-1+2sin2 2+3=-1+2 23 2=-19.课堂篇探究学习
11、探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测 反思感悟函数性质问题的求解策略(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的形式;(2)利用公式 T=2|求周期;(3)根据自变量的范围确定x+的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值;(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的单调区间.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测 变式训练 3 已知函数 f(x)=cos 2-3+2sin-4 sin +4.(1)求函数 f(x)的单调递增区间;(2)将 y=f(
12、x)的图像向左平移3个单位,再将得到的图像横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y=g(x)的图像;若函数 y=g(x)在区间 2,134 上的图像与直线 y=a 有三个交点,求实数 a 的取值范围.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测 解:(1)f(x)=cos 2-3+2sin-4 cos-4=cos 2-3+sin 2-4=cos 2-3+sin 2-2=cos 2-3-cos 2x=12cos 2x+32 sin 2x-cos 2x=32 sin 2x-12cos 2x=sin 2-6,即 f(x)=sin 2-6,函数的单调递增区间为-6,+3.
13、(2)g(x)=cos x,根据图像知 a-22,0.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测 三角变换的综合应用问题 典例已知函数 f(x)=4cos xsin +6-1.(1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)在区间-6,4 上的最大值和最小值.审题策略求最小正周期、最值、单调区间问题,往往需要先将原解析式化简为y=Asin(x+)+k形式后再求解.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测 规范展示(1)因为 f(x)=4cos xsin +6-1=4cos x 32 sin+12 cos-1=3sin 2x+2cos2x-1=
14、3sin 2x+cos 2x=2sin 2+6,所以 f(x)的最小正周期为.(2)因为-6x4,所以-62x+6 23.于是,当 2x+6=2,即 x=6时,f(x)取得最大值 2;当 2x+6=-6,即 x=-6时,f(x)取得最小值-1.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测 答题模板第1步:化简函数解析式;第2步:借助于y=sin x(或y=cos x)的性质求解;第3步:给出正确结论.失误警示造成失分的原因如下:(1)化简过程出错,导致整题错误;(2)正弦函数的图像性质记忆不清;(3)在求区间时,未用区间表示最后结果.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三
15、 探究四 规范解答 当堂检测 变式训练已知函数 f(x)=cos2x+sin xcos x,xR.(1)求 f 6 的值;(2)若 sin=35,且 2,求 f 2+24.解:(1)f 6=cos26+sin6cos6=32 2+12 32=3+34.(2)因为 f(x)=cos2x+sin xcos x=1+cos22+12sin 2x=12+12(sin 2x+cos2x)=12+22 sin 2+4,所以 f 2+24=12+22 sin +12+4=12+22 sin +3=12+22 12 sin+32 cos.因为 sin=35,且 2,所以 cos=-45,所以 f 2+24=1
16、2+22 12 35-32 45=10+3 2-4 620.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测 1.设 tan-4=14,则 tan +4=()A.-2B.2C.-4 D.4 答案:C 2.计算tan 4+cos22cos2 4-=()A.-2B.2C.-1 D.1 答案:D 3.已知 tan(+)=1,tan(-)=2,则sin2cos2=.答案:1 4.已知 cos +4=-1010,0,2,则 sin 2-3=.答案:4+3 310课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测 5.已知 02,tan2=12,cos(-)=210.(1)求 sin 的值;(2)求 的值.解:(1)tan2=12,tan=2tan21-tan22=2121-12 2=43,由 sincos=43,sin2+cos2=1,解得 sin=45 sin=-45 舍去.课堂篇探究学习 探究一 探究二 探究三 探究四 规范解答 当堂检测(2)由(1)知 cos=1-sin2=1-45 2=35,又 02,-(0,),而 cos(-)=210,sin(-)=1-cos2(-)=1-210 2=7 210,于是 sin=sin+(-)=sin cos(-)+cos sin(-)=45 210+35 7 210=22.又 2,=34.
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