1、山东省新泰市第一中学老校区（新泰中学）2021届高三数学上学期第一次月考试题（含解析）一、单项选择题：1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. 1，0，1，2，3C. 0，1，2，3D. 1，2【答案】C【解析】【分析】首先解一元二次不等式，根据代表元所满足的条件，求得集合A和集合B，之后利用补集和交集的定义求得结果.【详解】集合或， ，故 故选：C【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有解一元二次不等式求集合，集合的补集和交集的运算，属于简单题目.2. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性以及特殊角的余弦函数值即可判
2、断.【详解】，由，即，所以.故选：C【点睛】本题考查了利用指数函数、对数函数的单调性比较式子的大小，属于基础题.3. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则一定是（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理得到，计算得到答案.【详解】，则，即.故或，即.故选：.【点睛】本题考查了根据正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的应用能力.4. 如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】平面内三点共线的充要条件为：存在实数，使，且.求得，从而可得结果.【详解】由，可得
3、，所以，又三点共线，由三点共线定理，可得：，故选C.【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.5. 将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，若函数在上单调递减，则正数的最大值为A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】先化简的表达式，平移后得到的解析式，再求出的解析式，然后利用的单调减区间列不等式组，求得的取值范围，进而求得正数的最大值.【详解】依题意，向左平移个单位长度得到.故，下面求函数的减区间：由，由于故上式可化为，由于函数在上单调递减，故，解得，所以当时，为正数的最大值.故选A.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式
4、，考查三角函数图像变化的知识，考查三角函数的单调区间的求法，综合性较强，需要较强的运算能力.是不能够直接合并起来的，需要通过运用降次公式两次，才能化简为的形式.求解三角函数单调区间时，要注意是正数还是负数.6. 函数在上的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，证明当时，即，从而当时，排除B，C，D，即可得解.【详解】记，在上单调递增，又，当时，即，又，当时，故排除B，C，D.故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的判断以及利用导数证明不等式，考查了转化能力，属于中档题.7. 已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是( )A. 2B. C. 4D. 【答案
5、】C【解析】【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值【详解】解：的导数为，由切线的方程可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为，所以切点为，代入，得，、为正实数，则当且仅当时，取得最小值故选：C【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题8. 已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】构造新函数，求导后易证得在上单调递减，从而有，故而得解【详解】设，则，即在上单调递减，即，即，故选项A不正确；
6、，即，即，故选项D不正确；，即，即故选项B不正确；故选：C【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数是解题的关键，考查学生的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9. 下列命题中，是真命题的是（ ）A. 已知非零向量，若则B. 若则C. 在中，“”是“”的充要条件D. 若定义在R上的函数是奇函数，则也是奇函数【答案】ABD【解析】【分析】对A，对等式两边平方；对B，全称命题的否定是特称命题；对C，两边平方可推得或；对D，由奇函数的
7、定义可得也为奇函数.【详解】对A，所以，故A正确；对B，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B正确；对C，所以或，显然不是充要条件，故C错误；对D，设函数，其定义域为关于原点对称，且，所以为奇函数，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积与模的关系、全称命题的否定、解三角形与三角恒等变换、奇函数的定义等知识，考查逻辑推理能力，注意对C选项中得到的是的两种情况.10. 已知是定义域为R的函数，满足，当时，则下列说法正确的是（ ）A. 函数是偶函数B. 函数的最小正周期为4C. 当时，函数的最小值为D. 方程有10个根【答案】ABD【解析】【
8、分析】利用偶函数的定义判断A；利用函数周期的定义判断B；根据对称性以及二次函数的性质可判断C；利用数形结合的判断D.【详解】是定义域为R的函数，由，则，即，又，所以，即，所以， 所以函数是偶函数，故A正确；由，根据周期的定义可知函数的最小正周期为4，故B正确；当时，函数的最小值为，由，所以为对称轴，所以当时，函数的最小值为，故C不正确；作出时与的图像，由图像可知时，函数有个交点，又与为偶函数，由对称性可知方程有10个根，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查了函数的性质、求方程的根的个数，考查了数形结合的思想，属于中档题.11. 已知向量，则（ ）A. 若与垂直，则B. 若，则的值为C. 若，
9、则D. 若，则与的夹角为【答案】BC【解析】【分析】利用向量数量积、向量垂直、平行、模、夹角的坐标表示分析每一个选项即可.详解】对于选项A：由，可得，解得，故A错误，对于选项B：由，可得，解得，故B正确；对于选项C：若，则，则，故C正确：若，对于选项D：设与的夹角为，则，故D错误故选:BC【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算及其性质，属于基础题12. ，分别为内角，对边.已知，且，则（ ）A. B. C. 的周长为D. 的面积为【答案】ABD【解析】【分析】根据，利用正弦定理化简得到.然后利用余弦定理化简得到，再结合逐项判断.【详解】，.由余弦定理得，整理得，又，.周长为.故的面积为.故选：
10、ABD【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数在区间内不单调，则k的取值范围是_【答案】【解析】【分析】求解出，采用分类讨论的方法分析的单调性，从而求解出满足题意要求的的取值范围.【详解】因为，且，当时，恒成立，所以在上单调递增，不符合；当时，恒成立，所以在上单调递减，不符合；当时，若，则，若，则，所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意，综上可知：.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，其中涉及到根据单调性求解参数范围，难度一般.本例中的“不单调”问题也可以先转
11、化为“单调”问题，求出结果后再取其补集也能得到对应结果.14. 在数列中，且，则_.【答案】676【解析】【分析】对分奇偶讨论，由此得到奇数项和偶数项的规律，按规律即可求解出的值.【详解】当为偶数时，所以偶数项成首项为，公差为等差数列，所以；当为奇数时，所以奇数项为常数列，所以，所以；所以，故答案为：.【点睛】本题考查等差数列前项和的计算，其中涉及到递推公式中分奇偶项讨论的问题，难度一般.对需要分奇偶项讨论的数列进行求和时，可以先分别求解出奇偶性对应的通项公式，然后使用对应求和方法进行求和.15. _.【答案】【解析】【分析】根据切化弦，由两角差的正弦公式，即可化简出结果.【详解】原式.故答案
12、：.【点睛】本题主要考查根据三角恒等变换化简所求式子，涉及二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，属于常考题型.16. 某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地、两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点、，从点测得，从点测得，从点测得，并测得，（单位：千米），测得、两点的距离为_千米.【答案】【解析】【分析】在中，分析边角关系可得，在中，由正弦定理可求得的值，然后在中，利用余弦定理可求得的长.【详解】在中，则，在中，则，由正弦定理得，可得，在中，由余弦定理得，因此，（千米）.故答案为：.【点睛】本题考查距离的测量问题，考查了利用
13、正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知集合，集合.（1）当时，求；（2）设，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）时，求出集合与集合，利用集合运算性质即可得出（2）时，根据“”是“”的必要不充分条件，可得，即可得出【详解】解：（1）当时，集合，所以.（2）因为，所以，因为“”是“”的必要不充分条件，所以，所以解得：.【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18. 在中
14、，内角，所对的边分别为，.（1）求；（2）若为锐角，边上的中线长，求的面积.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得；（2）由（1）可知，再根据二倍角公式求出，从而得到，在中，设，在中，利用余弦定理即可求出，最后根据面积公式计算可得；【详解】解：（1）在中，因为，由正弦定理得，所以，即，又因为，所以因为是三角形的内角，所以或（2）由（1）知，因为，所以为等腰三角形，且，在中，设，在中，由余弦定理得，解得所以，所以，所以三角形的面积为【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题；19. 已知数列的前项和为，且满足（
15、）（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）当时，得；当时，得，所以数列是以 为首项，为公比的等比数列，即可得到（2）由（1）得，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前项和试题解析：（1）当时，；当时，得，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以（2）由（1）得，得所以20. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，且，其中O为坐标原点（1）若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；（2）若，向量，求的最小值及对应的x值【答案】（1）；（2）的最小值为，此时.【解析】【分析】（1）设D（t，0）（0t1），利用二次函数的性质求得它的最小值（
16、2）由题意得1sin（2x），再利用正弦函数的定义域和值域 求出它的最小值【详解】解：（I）设，又所以所以所以当时，最小值为（II）由题意得，则因为，所以所以当时，即时，取得最大值1所以时，取得最小值所以的最小值为，此时【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题21. 如图，要在河岸的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了图中所示坐标系，其中，在轴上，且，道路的前一部分为曲线段，该曲线段为二次函数在时的图像，最高点为，道路中间部分为直线段，且，道路的后一段是以为圆心的一段圆弧（1）求的值；（2）求的大小；（3）若要在扇
17、形区域内建一个“矩形草坪”，在圆弧上运动，、在上，记，则当为何值时，“矩形草坪”面积最大【答案】（1）；（2）；（3）当时，矩形草坪面积最大.【解析】【分析】（1）将点的坐标代入函数的解析式，可得出实数的值；（2）在函数的解析式中令，可求出点的坐标，由此得出，可求出，计算出，由此可得出；（3）可得出，从而得出“矩形草坪”的面积关于的表达式，利用三角恒等变换思想将关于的表达式化简为，结合角的范围，可计算出的最大值以及对应的值.【详解】（1）由图可知函数的图象过点，；（2）由（1）知，当时，又在中，；（3）由（2）可知 易知矩形草坪面积最大时，Q在OD上如图：，又，矩形草坪的面积为：，又，故当 即
18、时，有.综上所述，当时，矩形草坪面积最大【点睛】本题考查二次函数模型以及三角函数模型的应用，涉及锐角三角函数定义以及三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.22. 已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）x3+1，求a的取值范围.【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）【解析】分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.【详解】(1)当时，由于，故单调递增，注意到，故：当时，单调递减，当时，单调递增.(2)由得，其中，.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；.当时，分离参数a得，记，令，则，故单调递增，故函数单调递增，由可得：恒成立，故当时，单调递增；当时，单调递减；因此，,综上可得，实数a的取值范围是.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用