1、数 学一、选择题（本大题共8小题，共40分）1已知集合( ) AB CD2已知复数z满足，则复数在复平面内对应的点位于( ) A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3将4名学生分别安排甲、乙、丙三个地方参加实践活动，每个地方至少安排一名学生， 则不同的安排方案共有( ) A12 B18 C24 D364某防疫站对学生进行健康调查，采用分层抽样的方法抽取样本某中学共有学生2000 人，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学共有女生( )人 A1030人 B97人C950人 D970人5鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首 创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字
2、立方体，其上 下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分 成三组，经90。榫卯起来，若正四棱柱的高为6，底面正方 形的边长为l，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的 厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为( ) A41 B42 C43 D44 6模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立 了某地区新冠肺炎累计确诊病例数，（t）（t的单位：天）的模型： ,其中K为最大确诊病例数当时，标志着已初步遏制 疫情，则t*约为( ) A60 B63 C66 D697若函数在上的最小值为，则在 上的最大值为( ) A4 B5CD8已知双曲线E的中心为原点，是E的焦点
3、，过F的直线与E相交于A，B两点， 且AB的中点为,则E的离心率为( ) AB CD二、不定项选择题（本大题共4小题，共20分）9椭圆的焦距为，则m的值为( ) ABC D10某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是( )（注：结余=收入支出） A收入最高值与收入最低值的比是3：l B结余最高的月份是7月 C1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D前6个月的平均收入为40万元11设随机变量的分布列为，则( ) A B CD12已知函数（其中.对于不相等的实数，设 ，下列说法正确的是（ ） A对于任意不相等的实数都有; B对于任意的及任意不相等的实数
4、，都有； C对于任意的，存在不相等的实数，使得； D对于任意的，存在不相等的实数，使得.三、填空题（本大题共4小题，20分）13在数列中，则的值为.14已知二项式，则=15正四棱锥S-ABCD底面边长为2，高为l，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上 运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为16己知数列的前项和为，且,数列的通项公式为；数列的前项和为，且，若使恰为中的奇数项，则所有正整数组成的集合为.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17(10分) 在ABC中， (1)求B； (2)若c=5，. 求，从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.18(12分) 已知等差数列满足，
5、等比数列的各项均为正数，且. (I)求和的通项公式； ()设为数列的前项和，求满足的最大正整数19(12分) 我国是全球最大的口罩生产国，在2020年3月份，我国每日口罩产量超一亿只，已基本满足国内人民的需求，但随着疫情在全球范围扩散，境外口罩需求量激增，世界卫生组织公开呼吁扩大口罩产能，常见的口罩有KN90和KN95(分别阻挡不少于90.0%和95.0%的0.055到0.095微米的氯化钠颗粒)两种.某口罩厂两条独立的生产线分别生产KN90和KN95两种口罩，为保证质量对其进行多项检测并评分（满分100分），规定总分大于或等于85分为合格，小于85分为次品.现从流水线上随机抽取这两种口罩各1
6、00个进行检测并评分，结果如下： 总分 75,80) 80,85) 85,90) 90,95) 95,100 KN90 6 14 42 31 7 KN95 4 6 47 35 8 (1)试分别估计两种口罩的合格率； (2)假设生产一个KN90口罩，若质量合格，则盈利3元，若为次品则亏损1元；生产一个KN95口罩，若质量合格，则盈利8元，若为次品则亏损2元，在(1)的前提下， 设X为生产一个KN90口罩和生产一个KN95口罩所得利润的和，求随机变量X的分布列和数学期望； 求生产4个KN90口罩所得的利润不少于8元的概率20(12分) 如图，四棱锥S -ABCD的底面ABCD是直角梯形，,侧面SC
7、D为钝角三角形，,平面SCD平面ABCD，点M是棱SA上的动点， (1)求证：平面MBD平面SCD; (2)若直线SD与底面ABCD所成的角为，是否存在点M,使得二面角A-余弦值为若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由21(12分) 已知函数 (1)讨论函数的单调性； (2)若函数的图象与直线交于A，B两点，记A，B两点的横坐标分别为且，证明：22(12分) 已知点，点P是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点，记动点的轨迹为曲线C (I)求曲线C的方程； ()设是分别过点的两条平行直线，交曲线C于A,B两个不同的点，交曲线C于M,N两个不同的点，求四边形ABNM面积的最大值数学参
8、考答案1C 依题意得，故选C2A 复数z满足则所以复数在复平面内对应的点位于为第一象限.3D 先从4名学生中选择两名组成一个复合元素，然后再将3个元素（包含复合元素）安排到甲、乙，丙三地，不同的安排方案共有种4D 中学共有学生2000人，抽取了一个容量为200的样本，抽取比例为，样本中男生103人，样本中女生97人，中学共有女生970人5A 由题意，该球形容器的半径的最小值为：，该球形容器的表面积的最小值为6C 由题可知所以,解得7D 由于，所以则函数当时，函数取得最小值为，解得.所以由于所以当时，函数取得最大值为8B 设双曲线的标准方程为，设，则有：，两式作差得：，即，AB的中点为，即得 故
9、选：B.9AB 椭圆的焦距为，即依题意得解得或，的值为9或2310ABC 由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确。由图可知，结余最高为7月份，为80-20=60，故B正确。由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同故C正确。由图可知，前6个月的平均收入为万元，故D错误。11. ABC 由题意可得，所以，故，故A正确;，故正确；，故C正确;，故D不正确12AD 对于A，由指数函数的单调性可得在R上递增，即有，则A正确；对于B，由二次函数的单调性可得在递减，在递增，则不恒成立，则B错误；对于C，若，可得，即为，设，则应有，而，当小于0，
10、单调递减，则错误；对于若，可得，即为设，则应有而，对于任意的不恒大于0或小于0，即在定义域上有增有减，则正确1311 解：数列是公差为2的等差数列14-64解：令，则令,，解得,15解：如图所示，取的中点，则,，所以平面平面，而平面所以平面，则动点在四棱锥表面上运动的轨迹为，则动点的轨迹的周长为16解：由题意，当时，解得，当时，由，可得两式相减，可得，整理，得,数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即假设为正奇数，则，易知只有当时，适合题意，故所有正整数组成的集合为17解：(I)在中，由正弦定理得，得又即 .2分又 .4分又, .5分()若选则在中，由余弦定理, .7分可得解得，或（舍去），可
11、得 .10分若选,则, .7分由正弦定理，可得，解得. .10分18解：(1)设等差数列的公差为，.2分解得,所以，.3分设等比数列的公比为由得，.1分解得，舍去负值，所以，.1分所以，.6分(2)当时，当时，.7分，.8分, .9分,也适合） .11分显然在时单调递增，, ,所以满足的最大正整数，.12分19解：(1)由题意知生产口罩合格率为，.1分生产口罩合格率为，.2分(2)随机变量的所有可能取值为-3，1，7，11，,6分因此，的分布列如下： 7分 8分设“生产4个口罩所得的利润不少于8元”事件为事件,包括“生产4个口罩全合格”和“生产4个口罩只三个合格”，所以(或写为0.8192）1
12、1分所以生产4个口罩所得的利润不少于8元的概率为 12分20解：(1)证明：取中点，连接,设,依题意得，四边形为正方形，且有,所以 2分所以， 3分又平面平面，平面平面平面,所以平面 4分又平面,所以平面平面5分(2)假设存在点，使得二面角余弦值为，过点作的垂线，交延长线于点，连接因为平面平面，平面平面平面所以平面,故为斜线在底面内的射影，为斜线与底面所成的角，即由(1)得，6分所以在中，,在中，由余弦定理得所以，从而，（也可利用，求得点坐标）7分过点作，所以平面所以两两垂直，以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，8分则设设平面的法向量得取得， 10分取平面的法
13、向,所以 11分解得或又当时，点不在棱上，故所以当点是棱的中点时，二面角余弦值为 12分21解：(1)，1分时，在递增，3分时，令，解得：，令，解得：,故在递减，在递增； 5分(2)函数的的导数,若，则，还是单调递增，则不满足条件，则由得,由得，即当时，还是取得极小值同时也是最小值 6分有两个根，即，则，即 7分要证，则只需要又，则只需要证明，即证，令，9分则，即在上单调递减，即则命题成立. 12分22解：(I)由题意知，所以 . 2分所以的轨迹是以点为焦点，6为长轴长的椭圆，所以，则所以点的轨迹方程为 . 5分()直线的斜率不为0，设，直线的方程为，由可得则7分所以 8分根据椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，原点是对角线的交点，所以四边形的面积等于的面积的4倍. 点到直线的距离 . 9分所以的面积10分令，则设，则因为，所以所以在上单调递增所以当时，取得最小值，其值为9所以的面积的最大值为，四边形的面积的最大值为 12分
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