1、北师大万宁附中2020-2021学年上学期高二期中考试数学试题（考试时间120分钟 满分150分 ）一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分）1已知，则（ ）ABCD2若复数Z满足，则（ ）ABCD23已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）AB1C或D4命题“”是命题“直线和直线平行”的（ ）.A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5已知，且，则向量与的夹角为（ ）ABCD6若圆与圆有三条公切线，则的值为（ ）A2BC4D67若直线过圆的圆心，则的最小值是（ ）A10B16CD208设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
2、（ ）A B C D二、多项选择题（共4题，每题5分，共20分）9已知函数，则下列说法正确的是（ ）A函数的最小正周期为B函数的对称中心为C函数的定义域为D函数是奇函数10从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）A2个球都是红球的概率为B2个球不都是红球的概率为C 至少有1个红球的概率为D2个球中恰有1个红球的概率为11已知直线和，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线的方程为（ ）A B C D12已知正四棱柱的底面边长为，则（ ）A平面 B异面直线与所成角的余弦值为C平面 D点到平面的距离为三、 填空题（共4题，每题5分
3、，共20分）13已知函数f(x)=，则的值为 .14若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为 .15已知，则 .16已知圆，若圆与圆关于直线对称，且与直线交于、两点，则的取值范围是 四、 解答题（共6题，17题10分，1822题每题12分，共70分）17（10分）已知两圆和（1）求圆和公共弦的长度；（2）求经过原点以及圆和圆交点的圆的方程18（12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场销售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线段表示.（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图（2）
4、表示的种植成本与时间的函数关系式；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg，时间单位：天.）19（12分）如图，在多边形中（图1）四边形为长方形，为正三角形，现以为折痕将折起，使点在平面内的射影恰好是的中点（图2）（1）证明：平面；（2）若点在线段上，且，求二面角的余弦值20（12分）在；这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答.的内角、的对边分别为、，已知_.（1）求角；（2）若，求的面积.21（12分）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将
5、得到数据按如下方式分为9组：，绘制得到如下的频率分布直方图：（1）试估计抽查样本中用电量在的用户数量；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使的居民缴费在第一档，的居民缴费在第二档，其余的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数，范围用左开右闭区间表示）（3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为和的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率.22（12分）已知圆心在轴的正半轴上，且半径为2的圆被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）若圆内有动弦过定点
6、，为坐标原点，试求面积的最大值，并写出此时动弦所在的直线的方程.2020-2021学年度高二数学期中考试卷参考答案一、 单选题12345678DBDADCBB二、多选题9101112ABDACDBDACD三、填空题13 14 15 16 四、解答题17(10分)已知两圆和（1）求圆和公共弦的长度；（2）求经过原点以及圆和圆交点的圆的方程【解析】（1）将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为1分将代入圆得，有，3分或，交点坐标为和4分两圆的公共弦长为5分（2）设经过原点以及圆和圆交点的圆的方程为，圆和圆交点坐标为和 ，7分得，9分10分18(12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月
7、一日起的300天内，西红柿市场销售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线段表示.（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系式；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg，时间单位：天）.【解析】（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为3分由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为5分（2）设时刻的纯收益为，则即7分当时，配方得到当时，取得区间上的最大值为；9分当时，配方整理得到：当时，取得区间上的最大值为11分综
8、上所述，在区间上的最大值为，此时12分即从月日开始的第天时，上市的西红柿纯收益最大.19(12分)如图，在多边形中（图1）四边形为长方形，为正三角形，现以为折痕将折起，使点在平面内的射影恰好是的中点（图2）（1）证明：平面：（2）若点在线段上，且，求二面角的余弦值【解析】（1）作的中点，连接，由题知平面1分因为，所以，2分又因为， ， 4分所以平面5分（2）取的中点，连接，则，以为坐标原点，以，分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系6分则， ， 8分设平面的一个法向量为则有， 令，所以10分易知平面的一个法向量为所以，11分所以二面角的余弦值为12分20(12分)在；这两个条件中任选一个作为已知
9、条件，补充到下面的横线上并作答.的内角、的对边分别为、，已知_.（1）求角；（2）若，求的面积.【解析】（1）选择条件：，由正弦定理可得，1分，2分，即， 所以，4分，则，5分，解得；6分选择条件：，由正弦定理得，1分，2分上式可化简为，3分，5分，；6分（2）由余弦定理，可得，8分又由，则，10分，11分因此，的面积为.12分21(12分)为了解某市家庭用电量的情况，该市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将得到数据按如下方式分为9组：，绘制得到如下的频率分布直方图：（1）试估计抽查样本中用电量在的用户数量；（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率
10、，市政府计划采用阶梯电价，使的居民缴费在第一档，的居民缴费在第二档，其余的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数，范围用左开右闭区间表示）（3）为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为和的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率.【解析】（1）由直方图可得，样本落在，的频率分别为0.02，0.15，0.27，0.23，落在，的频率分别为0.09，0.06，0.04，0.01. 2分因此，样本落在的频率为3分样本中用电量在的用户数为.4分（2）因为，为了使的居民缴费在第一档，只需对应的用电量位于内，
11、于是，6分又， 所以对应的用电量为280. 7分所以第二档的范围可确定为.8分（3）由题可知，样本中用电量在的用户有4户，设编号分别为1，2，3，4；在的用户有2户，设编号分别为，则从6户中任取2户的样本空间为：，共有15个样本点. 10分设事件“走访对象来自不同分组”，则，11分所以，从而.12分22(12分)已知圆心在轴的正半轴上，且半径为2的圆被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）若圆内有动弦过定点，为坐标原点，试求面积的最大值，并写出此时动弦所在的直线的方程【解析】（1）由题意，设圆的方程为，1分则圆心到直线的距离为，2分由圆的性质可得，弦长一半的平方与圆心到直线距离的平方之和等于半径的平方，即，解得，3分所以，圆的方程为；4分（2）设过的直线为，5分由消去，得，6分则，7分则，9分令，则， 显然在上单调递增，10分所以当，即时，取最大值，11分此时面积最大，为；直线的方程为：.12分
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