1、北师大万宁附中2021-2022学年上学期第一次月考(高二)数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点，则以线段为直径的圆的方程为ABCD2.如图中的直线、的斜率分别为、，则A BC D3.已知直线与过点，的直线垂直，则直线的倾斜角是（ ）ABCD4.方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）ABCD5.若直线m的方向向量为a，平面的法向量为，则能使m的是()A.a(1,0,0)，(2,0,0) B.a(1，1,3)，(0,3,1) C.a(0,2,1)，(1,0,1) D.a(1,3,5)，(1,0,1)6.已知a=
2、(2,0,1),b=(3,2, 5),则向量b在向量a上的投影向量是 ()A. (3,2, 5) B. (3,2, 5) C. (2,0,1)D. (2,0,1)7.向量a=(2,1,x),b=(2,y,1),若|a|=,且ab,则x+y的值为()A. 1 B.1 C. 4 D.48.已知向量a=(2,-1,3)，b=(-1,4,-2)，若a，b，c共面，则实数（ ）ABCD二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线与直线垂直，则实数的值是（ ）A B C D10.如果，那么
3、直线经过（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限11.正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,下列结论正确的有()A.AD与BC所成的角为30 B.AC与BD所成的角为90C.BC与面ACD所成角的正弦值为 D.平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是12.等腰直角三角形的直角顶点为，若点A的坐标为，则点B的坐标可能是（ ）ABCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上.13.若a(2，3,1)，b(2,0,3)，c(3,4,2)，则a(bc)_.14.两平行直线与间的距离为3，则_.15. 在四棱柱中，则 16如图，二面角为，过，分别作的垂线，垂
4、足分别为，若，则的长度为 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)求经过直线 与直线 的交点，且满足下列条件的直线方程.（1）与直线平行； （2）与直线垂直.18.(本题满分12分) 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，BAA1CAA160.(1)设a，b，c，用向量a，b，c表示，并求出BC1的长度；(2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值19.(本题满分12分)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，M为CE的中点(1)求证：BM平面ADEF；(2)求证：BC平面
5、BDE.20.(本题满分12分)已知直线：.（1）求证：不论为何值，直线总经过第一象限； （2）为使直线不经过第二象限，求的取值范围.21. (本题满分12分)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被面AEC1F所截得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求BF的长; (2)求点C到平面AEC1F的距离.22(本题满分12分)如图所示的几何体中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，为的中点.（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）设为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长.数学答案一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
6、项是符合题目要求的.1-5BDCBB 6-8CCD二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.AB 10.ACD 11.BD 12.AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上.13._3_ 14.或48_.16. -3 163四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)求经过直线 与直线 的交点，且满足下列条件的直线方程.（1）与直线平行； （2）与直线垂直.17.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）
7、设所求直线为，故，因为此直线与直线，故，故，故所求直线为.（2）设所求直线为，故，因为此直线与直线，故，故，故所求直线为.18.(本题满分12分) 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于1，BAA1CAA160.(1)设a，b，c，用向量a，b，c表示，并求出BC1的长度；(2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值18解析(1)acb.ab|a|b|cosBAA111cos 60，同理可得acbc，所以|.即BC1的长度为.(6分)(2)因为ab，所以|，因为(ab)(acb)a2acabbacbb2111，所以cos，.(11分)所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为
8、.(12分)19.(本题满分12分)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，M为CE的中点(1)求证：BM平面ADEF；(2)求证：BC平面BDE.19.证明平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，ADED，ED平面ADEF，ED平面ABCD.以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2)(2分)(1)M为EC的中点，M(0,2,1)，则(2,0,1)，(2,0,0)，(0,0,2)，故，共面又B
9、M平面ADEF，BM平面ADEF.(7分)(2)(2,2,0)，(2,2,0)，(0,0,2)，440，BCDB.又0，BCDE.又DEDBD，BC平面BDE.(12分)20.(本题满分12分)已知直线：.（1）求证：不论为何值，直线总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求的取值范围.20.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）直线l为，即，解得，不论a为何值，直线l总过第一象限的点，即直线l过第一象限；（2）因为直线的斜率显然存在，又直线l不经过第二象限，直线l过第一象限，所以斜率只能为正，且直线与轴不能交于正半轴；因此；解得，21. (本题满分12分)如图所示的多面体是由
10、底面为ABCD的长方体被面AEC1F所截得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求BF的长;(2)求点C到平面AEC1F的距离.21.解析(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),B(2,4,0),(2分)设F(0,0,z),四边形AEC1F为平行四边形,=,即(-2,0,z)=(-2,0,2),z=2,F(0,0,2),=(-2,-4,2).(4分)于是|=2,即BF的长为2.(6分)(2)设n=(x,y,z)为平面AEC1F的法向量,(7分)则即令y=-,得x=1,z=1,则n=1,-,1.(10分)
11、由(1)知=(0,0,3),点C到平面AEC1F的距离d=.(12分)22(本题满分12分)如图所示的几何体中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，为的中点.（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）设为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长.22.【解析】：依题意得，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以面，又，可以建立以为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，（1）证明：由题意，因为，所以.（2）解：，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得，平面的一个法向量，因此有，由图可得二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.（3）解：（方法一）设，所以，因此，令，即，解得，即为的中点，因为平面，平面，所以当为的中点时，平面平面，此时即，所以线段的长为.（方法二）设，所以，因此，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得，因为平面平面，所以，解得：，此时即，所以线段的长为
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