1、湖南省衡阳县第四中学2016-2017学年高二12月学科联赛理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.“”是“”成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件【答案】A考点：充分条件、必要条件的判定.2.若命题“”为假，且“”为假，则（ ）A“”为假 B假 C真 D不能判断的真假【答案】B111【解析】试题分析：若“”为假，则为真命题，“”为假，为假命题故选B.111考点：复合命题的真假.3.已知是等差数列，则（ ）A16 B17 C18 D19【答案】C【解析】试题分析：设数列的公差
2、为，由，得，则，故，故选C.考点：等差数列的性质.4.若的对边分别为，且，,则（ ）A5 B25 C. D【答案】A【解析】试题分析：在中，可得，解得由余弦定理可得：故选：A.考点：余弦定理.15.已知各项为正数的等比数列中，则等于（ ）A B7 C.6 D【答案】A考点：等比数列的性质.6.如果椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离为（ ）A10 B6 C. 12 D14【答案】D【解析】试题分析：由椭圆的定义知，故选：D.考点：椭圆的简单性质.7.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）A12 B10 C.8 D2【答案】B【解析】试题分析：由约束条件，得如图所示的三角形
3、区域，由简单线性规划可得当直线过点时，取得最大值为；故选B.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）A B C. D【答案】C考点：双曲线的性质.9.现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为（ ）A9 B
4、10 C.19 D29【答案】B【解析】试题分析：把根相同的圆钢管堆放成一个正三角形垛，正三角形垛各层的钢管数组成一个首项为，公差是的数列，正三角形垛所需钢总数为,令，解得是使得不等式成立的最大整数，此时取最大值，由此可以推出剩余的钢管有根故选B考点：等差数列的实际应用.10.若，且，则的最小值为（ ）A12 B14 C.16 D18【答案】D考点：基本不等式.【易错点睛】本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题：(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“
5、拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件111.在公差不为零的等差数列中，依次成等比数列，前7项和为35，则数列的通项等于（ ）A B C. D【答案】B【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由构成等比数列，得：，整理得：，即，得，则，故选B.考点：等差数列的性质；等比数列的性质.12.在中，分别为内角所对的边，若，则的最大值为（ ）A4 B C. D2【答案】C考点：正弦定理.第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13.原点和点在直线两侧，则的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：因为原点和点在直线的两侧，所以，解得，故答案为：考点：
6、二元一次不等式与平面区域.【方法点睛】二元一次不等式表示的平面区域，一般地，直线把直角坐标平面分成了三个部分：直线上的点的坐标满足；直线一侧的平面区域内的点的坐标满足；直线另一侧的平面区域内的点的坐标满足所以，只需在直线的某一侧的平面区域内，任取一特殊点，从值的正负，即可判断不等式表示的平面区域14. 【答案】【解析】试题分析：，故答案为.考点：数列求和.15.在中，,则 【答案】考点：正弦定理.111116.已知的周长为26且点的坐标分别是，则点的轨迹方程为 【答案】11学科网1【解析】试题分析：的周长为，顶点，点到两个定点的距离之和等于定值，点的轨迹是椭圆， ，椭圆的方程是，故答案为.考点
7、：轨迹方程.【方法点晴】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点；求曲线方程的一般步骤（直接法）：（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用表示曲线上任一点M的坐标；（2）列式：写出适合条件的点的集合；（3）代入：用坐标表示出条件，列出方程；（4）化简：化方程为最简形式；（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知的内角，所对的边分别为，且，（1）若，求的值；（2）若的面积，求的值.【答案】(1
8、)；（2）， .考点：正弦定理；余弦定理.1【方法点晴】此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键在中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.118.（本小题满分12分）已知为等差数列，且，.（1）求的通项公式；（2）若等比数列满足，求的前项和公式.【答案】(1)；（2）.试题解析：(1)设等差数列an的公差为d.因为a36，a60，所以解得a110，d2.所以an10(n1)22n12.(2)
9、设等比数列bn的公比为q.1111因为b2a1a2a324，所以8q24，q3.所以数列bn的前n项和公式为Sn考点：等差数列的通项公式；等比数列的前项和.19.（本小题满分12分）已知，命题 表示的曲线是焦点在轴上的椭圆；命题：不等式的解集为，若是真命题，求的取值范围.【答案】.试题解析：，且是真命题 2分 当是真命题时，有 解得： 故 8分当 1111解得 11分111综上所述， 考点：椭圆的标准方程；复合命题的真假.20.已知点是椭圆上的一点，为椭圆的两焦点，若，试求：（1）椭圆的标准方程；（2）的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设出焦点的坐标，利用垂直关系求出值，
10、椭圆的方程化为，把点的坐标代入，可解得的值，从而得到所求椭圆方程；（2）点纵坐标的值即为边上的高，由求得的面积.考点：椭圆的标准方程；椭圆的性质.121.（本小题满分12分）在数列中，（1）设，证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由，可得，化简得，即可证明；（2）由（1）可得：，再利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可得出.试题解析：(1)证明由已知an12an2n，得.，又.bn是首项为1，公差为1的等差数列考点：等差数列的定义；数列求和.【方法点晴】本题主要考查了等差数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难
11、度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.22.（本小题满分12分）在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为,直线与交于两点，（1）写出的方程；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由题中条件：“点到两点，的距离之和等于，”结合椭圆的定义知其轨迹式样，从而求得其方程；（2）先将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去得到一个一元二次方程，再利用根与系数的关系结合向量垂直的条件列关于方程式即可求得参数值.试题解析：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，)、(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴，故曲线C的方程为.111考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题.111【方法点睛】本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的综合问题及方程思想，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求；直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解