1、1.7.2正切函数的图像与性质一、教学内容分析1、教材内容 北师大版，数学必修4，第一章，第七节正切函数。2、教材分析 本节课是研究了正弦、余弦函数的图象与性质后，又一具体的三角函数。本节课的内容是对前面学习正弦函数、余弦函数的延展，也为后续学习斜率做铺垫。本节课先从代数角度探究正弦函数的性质，再通过平移正切线作出正切函数的图像，再观察图像得到新性质。从局部到整体，又从整体到局部，既给学生提供更多研究数学问题的视角，又使数形结合相得益彰。二、学习者特征分析：学生已经学习了正切的定义、单位圆中的正切线、诱导公式、正弦函数的图象和性质等，具备了学习本节课的知识基础，并且在学习基本初等函数时，已然形
2、成了稳定的函数研究模式，即先画图、再性质。选择恰当的方法和过程来研究正切函数的性质，对学生来说也是一种考验。三、教学策略选择与设计我们知道研究函数常见两种方式，第一种方式是先根据函数解析式作出整体的函数图象.通过观察图象获得对函数性质的直观感性的认识，然后再把直观想象的内容用代数的语言加以抽象概括，进一步加以推理证明。这种研究过程体现的思维模式是由“直观想象”到“抽象概括”，研究方法是由“整体”到“局部”；第二种方式是先用代数的语言抽象概括出函数的局部性质，再根据性质画出函数的整体图象，这种研究过程体现的思维模式是由“抽象概括”到“直观想象”，研究方法是由“局部”到“整体”；前面主要研究了正余
3、弦函数的图象和性质，我们的研究方法是先画出函数的图象，观察图象得到函数的性质。这节课研究正切函数过程中要体会另一种思维模式，先研究函数的一些局部的抽象的性质，再通过性质画出函数的整体的直观的图象。使学生的研究函数的思维模式从“直观到抽象、整体到局部”突破到“抽象到直观、局部到整体”，研究过程也从“先图象后性质”突破到“先性质后图象”，这也是今后研究一个不熟悉的函数时的常用方法。教学手段：多媒体和几何画板辅助教学。课时安排：1课时。四、教学目标1、知识与技能：能画出正切函数的图像，掌握正切函数的主要性质（包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性）；2、过程与方法：体会先根据已有知识研究性
4、质，借助单位圆，平移正切线作出图像，再由图像反思性质的函数研究方法；3、情感态度与价值观：在探究性质的过程中体验自身发现与探索的乐趣，由性质做出图像发挥直观想象力。数形结合的思想贯穿始终。五、教学重难点重点：正切函数的图像，正切函数的主要性质（包括周期性、奇偶性、单调性、对称性）；难点：1、从“代数抽象到几何直观”、“从局部性质到整体图象”的函数研究方法；2、 在教学过程中，培养学生数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养。六、教学过程环节一：复习导入首先来回忆一下有关正切的定义（1）任意角的正切值的定义（教师活动：用几何画板演示）在平面直角坐标系中，作以原点也圆心的单位圆。对于任意角
5、使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。当角的终边不在轴上时，角的终边与单位圆交于点，角的正切值。（2）正切线（教师活动：用几何画板，画正切线。并让学生感受角逆时针旋转的过程中，正切线的变化，正切值的变化，为我们下面研究单调性和值域奠定基础）如何作正切线：过点作单位圆的切线，当角的终边不在轴上时，它与角的终边（当为第一、四象限角时）或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于点T，,则有向线段AT叫做角的正切线。对正切函数下定义：对于任意角，只要角的终边不在轴上都有唯一确定的正切值与之对应，同时在弧度制下角的集合与实数一一对应。所以对于任意实数,都存在唯一确定的与之对应，这就是我们今
6、天要学习的正切函数。我们可以发现T的纵坐标就是正切值环节二:合作交流探索性质我们前面学习了正弦函数和余弦函数，研究过程是先画出图像，再通过观察图像得到性质。当然我们可以通过类比正弦函数的研究方法来研究正切函数。但是我们希望在研究方法上有所突破，换一种思维模式，先通过代数运算得到性质，再作出图像。所以我们共同探究正切函数的性质与图像。问题1：根据你已有的知识储备，从能否从代数角度探究正切函数的性质？定义域周期奇偶性单调区间值域学生很容易得出定义域、周期和奇函数的结论。通过几何画板给学生演示单调性的变化。角从到增大的过程中，T顺着切线从x轴逐渐上升，T的纵坐标逐渐增大也就是正切值逐渐增大，所以在开
7、区间内是增函数，由周期性在开区间内是增函数。通过几何画板动画演示正切值的变化规律：观察正切值发现当大于，且接近于时，正切值趋近于负无穷大。当小于，且接近时，正切值趋近于正无穷大。在角变化的过程中，T点的纵坐标也就是正切值可以去到全体实数集的任何一个值，所以值域是全体实数集。从代数角度入手得到的基本性质暂时只有这些，如果能从图像入手，也许可以得到正切函数的其他性质。环节三：动手操作，学生展示大家是否记得利用正弦线画出正弦函数的图像的方法。用一个微课演示利用正弦线画出正弦函数的图像的过程。（1）等分；（2）作正弦线；（3）平移；（4）连线；（5）根据周期性得到整个定义域内的图像。问题2：同学们能否
8、类比这种方法，利用正切线画出正切函数的图像？找个同学在黑板上演示作图的过程，并讲述自己作图的思路。教师利用多媒体演示作图过程：把单位圆右半圆8等分，作正切线，平移正切线，用一条光滑的曲线把正切线的端点连起来，就得到了一个周期内的图像，再根据周期性左右拓展就得到了整个定义域内的图像即正切曲线。正切曲线是由被相互平行的直线隔开的无穷多条曲线组成的，这些直线叫做正切曲线的渐近线。再利用几何画板演示平移无数条正切线得到的正切函数在开区间内的图像，发现与平移7条正切线得到的正切函数在开区间内的图像基本一致。因此在精度要求不高的情况下，能否类比正弦函数“五点法”作图，得到作正切函数一个周期内简图的方法？学
9、生发现“三点两线法”:，直线和直线。问题3：观察正切函数的图像能否清晰反映出刚才得到的抽象性质？能否发现对称中心？学生通过观察图像很容易看出定义域、周期、奇函数、单调区间和值域。内对称中心是原点，又因为周期是，所以发现对称中心是。也是对称中心，图像绕着这个点旋转180度，能与原来的图像重合，所以对称中心是。环节四:例题讲解，提升巩固例6：求函数的定义域、周期和单调区间。解： ，即所以函数的定义域是.所以函数的周期是2由于 解得 所以函数的单调递增区间是 环节五：课时小结，课后作业课时小结：1、正切函数的定义；2、正切函数的性质；3、正切函数的图像；4、思想方法：类比、迁移。（学生总结与教师总结
10、相合的方式）结束语：“数缺形时难直观，形缺数时难入微”，形与数，数与形密不可分，希望大家在平时学习中在注重注意数与形的结合应用。要在研究函数的图象和性质的过程中着重培养自己的数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象的素养。课后作业：（1）必做题： A组 第1，2，10题.（2） 选做题： B组 第1题.板书设计：板 书 设 计正切函数1. 正切函数的定义2. 正切函数的性质定义域：周期：奇偶性：值域：单调性3.正切曲线渐近线：对称中心：4.例题课后反思1、 推理与直观并重，提升核心素养：通过代数方法推导正切函数的性质培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养，根据性质画图像培养学生直观想象的核心素养。2、 关注学生发展培养探究精神：在探究性质以及发现新性质的过程中，采取开放性回答的方式，培养学生的探究精神。3、教学是门“遗憾的艺术”:本节课主要放在对性质的探究、图像的生成以及发现新性质上，对性质的应用还不够，需要在后续的学习中巩固加强。本节课内容厚实，如果教师大胆的放手，让学生探索和多角度的观察图像，学生的思维会碰撞出更多的火花，课堂生成会更精彩！