1、第二十二章 22.1.2 二次函数 y=ax2 的图象和性质 知识点 1:二次函数 y=ax2图象的画法 二次函数 y=ax2的图象的画法:(1)列表:先取原点(0,0),然后在原点的两边,对称地选取几个 x 值,求出函数值列表.(2)描点:在平面直角坐标系中描出表中数据对应的各点,一般先描 y 轴一侧的几个点,然后由对称性描出另一侧的几个点.(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得到了二次函数 y=ax2的图象.知识点 2:二次函数 y=ax2的性质 1.二次函数 y=ax2的图象是一条抛物线.2.抛物线 y=ax2的对称轴是 y 轴,顶点是原点.a0 时,抛物线开口向上,顶点是抛物线的最
2、低点;a0 向上(0,0)来源:1 y 轴来源:学,科,网 Z,X,X,K x0 时,y 随 x 增大而增大;来源:学|科|网 x0 时,y 随 x 增大而减小来源:1ZXXK 当x=0 时,y 最小值=0来源:Z.xx.k.Com a0 时,y 随 x 增大而减小;x0 时,y 随 x 增大而增大,求 k 的值.解:已知 y=(k+1)是关于 x 的二次函数,则解得:又当 x0 时,y 随 x 增大而增大,k+10,即 k-1,k=1.点拨：本题是关于二次函数的概念与性质的综合题.先根据二次函数的概念,自变量 x 的最高次数为 2,且二次项系数不为 0,得到 k2+k=2,且 k+10;再根
3、据二次函数 y=ax2的性质,当且仅当其图象开口向上时,才有 x0 时,y 随 x 增大而增大,得到此题中的二次项系数 k+10,这样就确定了 k 的值.知识点 2：二次函数 y=ax2在几何问题中的应用【例 2】如图,正方形 ABCD 的边长为 10,四个全等的小正方形的对称中心分别为正方形ABCD 的顶点,且它们的各边与正方形 ABCD 各边平行或垂直.若小正方形的边长为 x,且 0 x10,阴影部分的面积为 y,则能反映 y 与 x 之间函数关系的大致图象是图中的()A B C D 答案:D 点拨：由题意知,阴影部分的面积 y=4=x2,即 y=x2,因为 0 x10,所以它的大致图象是
4、 D.考点 3：二次函数 y=ax2在实际问题中的应用【例 3】有一座桥梁,桥洞的形状是一条开口向下的抛物线,其对应的函数解析式为 y=-x2(x,y 的单位均为 m).(1)在平面直角坐标系中画出这条抛物线;(2)利用图象求水面离桥洞的最高点 2 m 时,水面的宽度是多少米;(3)当水面宽为 6 m时,水面离桥洞的最高点有多少米?解:(1)列表:x -3-2-1 0 1 2 3 y=-x2 -4 -2-0-2-4 描点、连线得二次函数 y=-x2的图象,如图所示.(2)如图所示,过点 M(0,-2)作直线 AB 平行于 x 轴,交抛物线于 A,B 两点.y=-x2的图象关于 y 轴对称,AM=BM.又直线 AB 平行于 x 轴,点 A,B 的纵坐标均为-2.当 y=-2 时,-x2=-2,x=2.A(-2,-2),B(2,-2),即 AB=4,此时水面的宽度为 4 m.(3)如图所示,取点 N(3,0),过点 N 作 y 轴的平行线,交抛物线于点 F,过点 F 作 x 轴的平行线,交抛物线于另一点 E,则 EF=6,E,F 的横坐标分别为-3 和 3.当 x=3 或 x=-3 时,y=-4.F 点的纵坐标为-4,即 NF=4.此时水面离桥洞的最高点为 4 m.点拨：本题考查了抛物线的对称性以及已知自变量 x 的值求函数 y 的值,已知函数 y 的值求自变量 x 的值的方法.
