1、专题23二面角、面面角大题专练B卷1. 如图，三棱锥的三条侧棱两两垂直，分别是棱，的中点2. 如图，在直三棱柱中，点是棱上的一点，且平面证明：若点是棱上的一点，求二面角的大小3. 如图，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为，且平面求点到平面的距离；若，且平面平面，求二面角的余弦值4. 如图，在多面体中，和均为等边三角形，是的中点，证明：；若平面平面，求二面角的余弦值5. 在如图所示的圆柱中，为圆的直径，是上的两个三等分点，都是圆柱的母线求证：平面；若，求二面角的余弦值6. 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，平面平面，且是等边三角形，求证：平面平面求平面与平面所成锐二面角的大小7. 已知棱长均
2、为的平行六面体，顶点的投影为棱中点，求三棱锥的体积求平面与平面所成角的余弦值8. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为的正三角形，平面平面，求证：平行四边形为矩形若为侧棱的中点，且点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值答案和解析1.【答案】证明：因为，是棱的中点，所以又三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，所以平面，则因为，所以平面，又平面，所以平面平面解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，即令，则由知，平面的一个法向量为，由图可知，二面角为锐角，所以故二面角的余弦值为2.【答案】解：证明：如图所示，连接，与相交于点，连接，因为平面，平面平面，平
3、面，所以，在中，点为的中点，所以点为的中点，所以；因为，所以，又因为底面，所以，以为原点，以，为，轴正方向建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，设平面的一个法向量为，则所以令，解得，则，设平面的一个法向量为，则，所以令，解得，则，所以，由图可知，二面角为锐二面角，故二面角的大小为3.【答案】解：设点到平面的距离为因为，三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为又由，得，解得取的中点，连结，则，由平面平面，平面平面，平面，知平面，又平面，故B，又，且，平面，且，是两条相交直线，从而平面，而平面，故AC，以为原点，分别以，所在直线为，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，取中点，则，四边形是平行四边形，
4、从而为正三角形，故，又，解得，则，则，设面的法向量，由，得到取，得，故，设面的法向量，由，得到取，得，故故，即所求二面角的余弦值为4.【答案】证明：连接，因为，且为的中点，所以，因为，且为的中点，所以，因为平面，平面，且，所以平面，因为，所以，四点共面，所以平面，所以；解：由可知，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，两两垂直，以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，从而，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，设二面角为，由图可知为锐角，则，所以二面角的余弦值为5.【答案】解：证明：如图，连接，因为，是半圆的两个三等分点，所以
5、又，所以，均为等边三角形所以，所以四边形为菱形所以，又因为平面，平面，所以平面，因为，都是圆柱的母线，所以，又因为平面，平面，所以平面又，平面，且，所以平面平面，又平面，所以平面连接，是圆柱的母线，所以圆柱的底面，以原点，分别以，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，得，平面的一个法向量为，又因为平面的法向量为，所以由图可得二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为6.【答案】证明：如图，设点，分别是，的中点，连接，是等边三角形，是的中点，平面平面，平面平面，在直角梯形中，平面，平面，又，平面，平面是的中位线，又，且，四边形是平行四边形，平面，又
6、平面，平面平面解：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系设，则，显然平面的一个法向量为设平面的法向量为，令，则，平面与平面所成锐二面角的大小为7.【答案】解：如图，由底面为菱形，得正，从而有，又平面，得，又，故DE平面，由已知得，平行六面体知：的到面距离等于长，所以，由底面为菱形，得正，从而有，以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系则，从而，设平面的法向量为，则，令，平面平面，其一个法向量为所以，所以平面与平面所成角的余弦值为8.【答案】解：设为的中点，连接，为正三角形，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，又，平面，平面，又平面，故，平行四边形为矩形在平面内作，则平面，平面，平面，如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系底面为平行四边形，为矩形设，则，设平面的法向量为，由得，取，得又，所以点到平面的距离为，解得，设平面的法向量为，由得，取，得平面与平面夹角的余弦值为