1、8.1 直线的倾斜角、斜率与方程 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).【教材梳理】1.直线的倾斜角(1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们以 x 轴为基准，x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角.(2)规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0.(3)范围：直线倾斜角的取值范围是0，180).2.直线的斜率(1)定义：我
2、们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k表示，即 ktan_.(2)过两点直线的斜率公式：过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 ky2y1x2x1.(3)直线的方向向量坐标：若 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线 P1P2 的方向向量P1P2 的坐标为(x2x1，y2y1).若直线 l 的斜率为 k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则 kyx，特别地，(1，k)是 l 的一个方向向量.3.直线方程的五种形式 名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式yy0k(xx0)(x0，y0)是直线上一定点，k 为斜率不
3、垂直于 x 轴(k 存在)斜截式ykxbk 为斜率，b 是直线的纵截距，是点斜式的特例不垂直于 x 轴(k 存在)两点式yy1y2y1 xx1x2x1(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个定点不垂直于x轴和y轴(x1x2，y1y2)截距式xayb1a 为横截距，b 为纵截距，是两点式的特例不垂直于 x 轴和 y 轴，且不过原点(ab0)一般式AxByC0(A2B20)A，B，C 为系数任何位置的直线【常用结论】4.斜率与倾斜角的对应关系 图示倾斜角(范围)0090 9090180斜率(范围)k0k0不存在k0 5.过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的特殊直线方程(1)若 x1x2
4、，且 y1y2 时，直线垂直于 x 轴，方程为 xx1；(2)若 x1x2，且 y1y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为 yy1；(3)若 x1x20，且 y1y2 时，直线即为 y 轴，方程为 x0；(4)若 x1x2，且 y1y20 时，直线即为 x 轴，方程为 y0.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“”.(1)倾斜角越小，斜率越小.()(2)不是所有的直线都有斜率.()(3)过点 P(x0，y0)的直线都可用方程 yy0k(xx0)表示.()(4)能用斜截式方程表示的直线都能用点斜式方程表示.()(5)直线 2kxy12k0 恒过定点(1，1).()解：(1)；(2)
5、；(3)；(4)；(5).过点 A(2，1)，B(3，3)的直线方程为()A.4x5y130B.4x5y30C.5x4y50D.5x4y80解：因为直线过点(2，1)和(3，3)，所以 y131x232，所以y14 x25，化简得4x5y30.故选 B.(课本改编)如果 AC0，且 BC0，在 y 轴上的截距CB0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.故选 C.(2021 上海市杨浦高级中学高二期末)已知点 A(3，4)，B(3，2)，若经过点 P(1，0)的直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的倾斜角 的取值范围是_.解：如图，由题意知，直线 PA 的斜率 kPA 4031
6、1，直线 PB 的斜率 kPB20311.因为过点 P 的直线 l 与线段 AB 有公共点，所以直线 l 的斜率 k(，11，).又因为 ktan2，当 2 时也符合题意，所以直线 l 的倾斜角 的取值范围为4，34.故填4，34.考点一 直线的倾斜角和斜率(1)【多选题】(20202021 学年山东青州一中高二 11 月考)如图，直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3，倾斜角分别为 1，2，3，则下列选项正确的是()A.k1k3k2B.k3k2k1C.1 3 2D.3 2k30，k10，则 k1k3230，且 1 为钝角，则 321.故选 AD.(2)直线 l 经过点 A(1
7、，2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率 k 的取值范围是()A.1，15B.1，12C.(，1)15，D.(，1)12，解：设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y2k(x1)，直线 l 在 x 轴上的截距为 12k.令312k3，解得 k12.故选 D.【点拨】任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在，直线倾斜角的范围是0，)，斜率的取值范围是 R，同时要知道正切函数在0，)上不单调；求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.(1)(2022 湖北高二联考)已知直线 l 的方程为 xsin 3y10，R，则直线l
8、 的倾斜角的取值范围是 ()A.0，3 23，B.0，6 56，C.0，3 56，D.0，3 23，解：因为 ysin3 x 13，即直线 l 的斜率 ksin3.由1sin1，得 33 k 33.又因为直线 l 的倾斜角的取值范围为0，)，由正切函数的性质可得，直线 l 的倾斜角的取值范围为0，6 56，.故选 B.(2)(2020 春黄冈期末)已知点 A(2，3)和点 B(1，0)是平面直角坐标系中的定点，直线 ykx1 与线段 AB 始终相交，则实数 k 的取值范围是 ()A.1，2B.2，1C.2，1D.12，1解：易知直线 ykx1 过定点 P(0，1)，如图，kBP1，kAP2，因
9、为直线 ykx1 与线段 AB 始终相交，则 k 的取值范围为1，2.故选 A.考点二 求直线方程(1)求适合下列条件的直线方程.()过点 P(4，2)，倾斜角为 150；()过两点 A(1，3)，B(2，5)；()在 x 轴、y 轴上的截距分别为3，1.解：()因为倾斜角 150，所以斜率 ktan150 33，所以直线的点斜式方程为 y2 33(x4)，即 y 33 x4 33 2.()因为斜率 k53212，所以直线的点斜式方程为 y32(x1)，即 y2x1.()由题意，得直线的截距式方程为 x3 y11，即 x3y30.【点拨】选用直线方程时，注意其适用条件.同时注意截距相等包含截距
10、为 0，截距不是距离等.(2)设直线 l 的方程为(m22m3)x(2m2m1)y62m0.()已知直线 l 在 x 轴上的截距为3，则 m_；()已知直线 l 的斜率为 1，则 m_.解：()由题意知 m22m30，即 m3 且 m1，令 y0，则 x2m6m22m3，所以2m6m22m33，得 m53或 m3(舍去).所以 m53.()由题意知，2m2m10，即 m12且 m1.由直线 l 化为斜截式方程得 ym22m32m2m1x62m2m2m1，则m22m32m2m11，得 m2或 m1(舍去).所以 m2.故填()53；()2.【点拨】若方程 AxByC0 表示直线，则需满足 A，B
11、 不同时为 0；令 x0可得在 y 轴上的截距，令 y0 可得在 x 轴上的截距，若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式；解分式方程要注意验根.(1)求适合下列条件的直线方程.()过点 A(1，3)，倾斜角是直线 y 3x 的倾斜角的12；()直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；()经过点 B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.解：()因为 y 3x 的斜率为 k 3，其倾斜角为 120，所以所求直线的倾斜角为 60，其斜率为 3，所以直线方程为 y3 3(x1)，即 3xy3 30.()若截距不为 0，设直线的方程为xaya1，因为直线过点(3，4)，所以3a 4a1
12、，解得 a1.此时直线方程为 xy10.若截距为 0，设直线方程为 ykx，代入点(3，4)，有 43k，解得 k43，此时直线方程为 4x3y0.综上，所求直线方程为 xy10 或 4x3y0.()由题意可知，所求直线的斜率为1，又过点(3，4)，得 y4(x3).所求直线的方程为 xy10 或 xy70.(2)一次函数 ymn x1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()A.m1 且 n1B.mn0C.m0 且 n0D.m0 且 n0解：因为 ymnx1n的图象经过第一、三、四象限，故mn0，且1n0，即 m0，且n0 为充要条件，因此 mn0 是它的一个必要不充分条件.故选
13、 B.考点三 直线方程的应用(1)设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxym30交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_.解：由直线 xmy0 求得定点 A(0，0)，直线 mxym30，即 y3m(x1)，所以得定点 B(1，3).当 m0 时，两条动直线垂直，当 m0 时，因为(1m)m1，所以两条动直线也垂直，因为 P 为两直线的交点，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|PB|PA|2|PB|225(当且仅当|PA|PB|5时，等号成立)，所以|PA|PB|的最大值是 5.故填 5.(2)直线 l 过点 P(1，4)，分别交 x
14、轴的正半轴和 y 轴的正半轴于 A，B 两点.()当|PA|PB|最小时，求 l 的方程；()当|OA|OB|最小时，求 l 的方程.解：依题意，l 的斜率存在，且斜率为负.设 l：y4k(x1)(k0).令 y0，可得 A(14k，0)；令 x0，可得 B(0，4k).()|PA|PB|（4k）2161k24k(1k2)4(1kk)8.(注意 k0)所以当且仅当1kk 且 k0，即 k1 时，|PA|PB|取最小值.此时 l 的方程为 xy50.()|OA|OB|(14k)(4k)5(k4k)9.所以当且仅当 k4k且 k0，b0)过点(1，1)，则该直线在 x 轴、y 轴上的截距之和的最小
15、值为()A.1B.4C.2D.8解：因为直线 axbyab 过点(1，1)，所以 abab，1a1b1，因为直线在 x 轴的截距为 b，在 y 轴上的截距为 a，所以直线在 x 轴、y 轴上的截距之和为 ab，ab(ab)(1a1b)2baab22baab4，所以当 ab2 时取最小值，最小值为 4.故选 B.(2)已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2 时，直线 l1，l2 与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数 a_.解：由题意知直线 l1，l2 恒过定点 P(2，2)，直线 l1 的纵截距为 2a，直线 l2 的横截距为 a22，所以四边形的面积 S122(2a)122(a22)a2a4(a12)2154，又0a2，所以当 a12时，面积 S 取最小值.故填12.
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