1、数列1. （西城理题3）（西城文题3）设等差数列的前项和为，则等于（ ）A10 B12 C15 D30【解析】 C；，于是，2. （海淀文题4）已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是（ ）A B C D【解析】 C；，；，因此3. （宣武理题5）（宣武文题5）若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（ ）ABCD【解析】 B；由，可得，4. （海淀理题6）已知等差数列，等比数列，则该等差数列的公差为（ ）A或 B或 C D【解析】 C；，解得因此该等差数列的公差为5. （东城理题7）已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的最小自然数等于（ ）A B C D【解析】 C；，解得6. （
2、丰台理题8）已知整数以按如下规律排成一列：、，则第个数对是（ ）A B C D【解析】 C；根据题中规律，有为第项，为第2项，为第4项，为第项，因此第项为7. （海淀理题8）已知数列具有性质：对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项现给出以下四个命题： 数列具有性质； 数列具有性质； 若数列具有性质，则； 若数列具有性质，则其中真命题有（ ）A个 B个 C个 D个 【解析】 B；，都不在数列中，数列不具有性质；容易验证数列具有性质；取，则在数列中，而数列中最小的数，因此；由对的分析可知，由于，不在数列中，因此必然在数列中又，故，于是，等式成立8. （丰台文题10）设等比数列的公比为，前项和为
3、，则 【解析】 ；9. （东城文题11）设是等比数列，若，则 ，数列的前项的和 11. ；10. （石景山文题12）等差数列中，此数列的通项公式为 ，设是数列的前项和，则等于 【解析】 ，；设公差为，即，11. （石景山文题14）（石景山理题14）在数列中，若，（，为常数），则称为“等方差数列”下列是对“等方差数列”的判断：若是等方差数列，则是等差数列；是等方差数列；若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列；若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列其中正确命题序号为 （将所有正确的命题序号填在横线上）【解析】 ；由定义可知，是公差为的等差数列，正确；为常数，故是等方差数列，正确；若
4、，则为常数，对；设公差为，则，结合，两式相减可得，故是常数列，对12. （石景山文题18）在数列中， 且求，的值；证明：数列是等比数列，并求的通项公式；求数列的前项和【解析】 ， 且，数列是首项为，公比为的等比数列，即，的通项公式为的通项公式为，13. （石景山理题18）在数列中，且求，的值；证明：数列是等比数列，并求的通项公式；求数列的前项和【解析】 ，证明：，数列是首项为，公比为的等比数列，即，的通项公式为的通项公式为 ，所以，14. （西城文题19）设数列为等比数列，数列满足，已知，其中求数列的首项和公比；当时，求；设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有，求实数的取值范围【解析】 由
5、已知，所以；，所以，解得；所以数列的公比；当时，得，所以，因为，所以由得，注意到，当n为奇数时，；当为偶数时，所以最大值为，最小值为对于任意的正整数n都有，所以，解得，即所求实数m的取值范围是15. （丰台文题20）【解析】 对于数列，当时，显然不满足集合的条件，故不是集合中的元素， 对于数列，当时，不仅有，而且有，显然满足集合的条件，故是集合中的元素是等差数列，是其前项和，设其公差为，的最大值是，即，且的取值范围是证明：，整理，又，16. （丰台理题20）设集合由满足下列两个条件的数列构成：；存在实数，使（为正整数）在只有项的有限数列，中，其中；试判断数列是否为集合的元素；设是各项为正的等比
6、数列，是其前项和，证明数列；并写出的取值范围；设数列且对满足条件的的最小值，都有求证：数列单调递增【解析】 对于数列，取，显然不满足集合的条件，故不是集合中的元素，对于数列，当时，不仅有，而且有，显然满足集合的条件，故是集合中的元素是各项为正数的等比数列，是其前项和，设其公比为，整理得， 对于，有，且，故，且证明：（反证）若数列非单调递增，则一定存在正整数，使，易证于任意的，都有，证明如下：假设时，当时，由，而所以所以对于任意的，都有显然这项中有一定存在一个最大值，不妨记为；所以，从而与这题矛盾所以假设不成立，故命题得证17. （海淀文题20）已知数列满足：，求的值；设，求证：数列是等比数列，
7、并求出其通项公式；对任意的，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列；若不存在，说明理由【解析】 因为，所以，；由题意，对于任意的正整数，所以又 所以又所以是首项为，公比为的等比数列，所以存在事实上，对任意的，在数列中，这连续的项就构成一个等差数列我们先来证明：“对任意的，有”由得，所以当为奇数时，当为偶数时，记，其中因此要证，只需证明，其中，（这是因为若，则当时，则一定是奇数，有=；当时，则一定是偶数，有=）如此递推，要证， 只要证明，其中，其中，如此递推下去，我们只需证明，即，即，由（I）可得，所以对，有，对任意的，其中，所以又，所以所以这连续的项，是
8、首项为，公差为的等差数列说明：当（其中，）时，因为构成一个项数为的等差数列，所以从这个数列中任取连续的项，也是一个项数为，公差为的等差数列18. （海淀理题20）已知数列满足：，求的值；设，试求数列的通项公式；对于任意的正整数，试讨论与的大小关系【解析】 ，；由题设，对于任意的正整数，都有：，数列是以为首项，为公差的等差数列对于任意的正整数，当或时，；当时，；当时，证明如下：首先，由，可知时，；其次，对于任意的正整数，时，；时，所以时，事实上，我们可以证明：对于任意正整数，（*）（证明见后），所以此时综上可知：结论得证对于任意正整数，（*）的证明如下：）当（）时，满足（*）式）当时，满足（*）
9、式）当时，于是只须证明，如此递推，可归结为）或）的情形，于是（*）得证19. （东城文题20）已知数列，其中，数列的前项和，数列满足求数列的通项公式；是否存在自然数，使得对于任意，有恒成立？若存在，求出的最小值；若数列满足，求数列的前项和12. 因为当时，；所以所以即又，所以当时，上式成立因为，所以是首项为，公比为的等比数列，故；由知，则，假设存在自然数，使得对于任意，有恒成立，即恒成立，由，解得，所以存在自然数，使得对于任意，有恒成立，此时，的最小值为16当为奇数时，；当为偶数时，；因此20. （东城理题20）【解析】 用数学归纳法证明）当时，所以结论成立）假设时结论成立，即，则所以即时，结
10、论成立由）、）可知对任意的正整数，都有因为，所以，即所以，所以又，所以又，令，则数列是首项为，公比为的等比数列所以由，得所以21. （西城理题20）对于各项均为整数的数列，如果（=1，2，3，）为完全平方数，则称数列具有“性质”不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：是的一个排列；数列具有“性质”，则称数列具有 “变换性质”设数列的前项和，证明数列具有“性质”；试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，11是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；对于有限项数列：1，2，3，某人已经验证当时，数列具有“变换性质”，试证
11、明：当”时，数列也具有“变换性质”【解析】 当时，又，所以所以是完全平方数，数列具有“性质”；数列1，2，3，4，5具有“变换性质”，数列为3，2，1，5，4，数列1，2，3，11不具有“变换性质”，因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，所以数列1，2，3，11不具有“变换性质”；设，注意到，令，由于，所以，又，所以，即，因为当时，数列具有“变换性质”，所以1，2，可以排列成，使得都是平方数另外，可以按相反顺序排列，即排列为，使得，所以1，2，可以排列成，满足都是平方数即当时，数列也具有“变换性质”22. （宣武文题20）数列的前项和为，若，点在直线上求证：数列是等差数列；若数列满足，求数列的前项和；设，求证：【解析】 点在直线上，两边同除以，得，于是是以为首项，为公差的等差数列 由可知，即，当时，当时，经检验，当时也成立，于是，相减，解得：，23. （宣武理题20）已知数列满足，点在直线上求数列的通项公式；若数列满足，求的值；对于中的数列，求证：【解析】 点在直线上，是以为首项，为公比的等比数列， 且，且；当时， 由知时，即
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