1、广东省佛山市禅城实验高中2016-2017学年高一（下）期中数学试卷（解析版） 一、选择题1、已知 =（3，1），向量 =（4，3），则向量 =（ ） A、（7，4） B、（7，4） C、（1，4） D、（1，4）2、cos215sin215的值为（ ） A、 B、 C、 D、3、已知向量 =（1，2），则| |=（ ） A、3 B、 C、5 D、4、如果ab0，那么下列不等式成立的是（ ） A、 B、a+cb+c C、acbc D、acbc5、若tan=3，tan（+）=2，则tan=（ ） A、 B、 C、 D、6、在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，则 =（ ） A、 B、 C、
2、 D、7、ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B= ，C= ，则ABC的面积为（ ） A、2 +2 B、 C、2 2 D、18、在等差数列an中，a1=3，a10=3a3 ， 则an的前12项和S12=（ ） A、120 B、132 C、144 D、1689、在等腰三角形ABC中，A=150，AB=AC=1，则 =（ ） A、 B、 C、 D、10、已知等比数列an满足：a1+a3=10，a4+a6= ，则an的通项公式an=（ ） A、 B、 C、+4 D、+611、三角函数y=sin（ 2x）+cos2x的振幅和最小正周期分别为（ ） A、， B、， C、， D、，1
3、2、如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（ ） A、m B、m C、m D、m二、填空题：13、不等式2x2x30的解集为_ 14、已知向量 =（1，1）， =（2，0），则向量 ， 的夹角的余弦值为_ 15、在数列an中，a1=2，an+1=2an ， Sn为an的前n项和，若Sn=126，则n=_ 16、在ABC中，A、B、C的对边分别是a，b，c，且bcosB是acosC，ccosA的等差中项，则角B=_ 三、解答题17、平面内给定三个向量 =（3，2）， =（1，y）， =（x，5）， (1)若 ，求实数y； (
4、2)若 ，求实数x 18、已知（ ，），sin= (1)求sin（ +）的值； (2)求cos（ 2）的值 19、在等比数列an中，a2=3，a5=81 （）求an；（）设bn=log3an ， 求数列bn的前n项和Sn 20、ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c己知asinA+csinC asinC=bsinB， （）求B；（）若A=75，b=2，求a，c 21、已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx） （）求f（ ）的值；（）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间 22、已知数列an的前n项和为Sn，且满足an=2Sn1（nN*） （）求证：数列an为等比数列；（）若b
5、n=（2n+1）an ， 求bn的前n项和Tn 答案解析部分一、选择题 1、【答案】A 【考点】向量的加法及其几何意义，向量的减法及其几何意义 【解析】【解答】解： =（3，1），向量 =（4，3）， 则向量 = =（4，3）（3，1）=（7，4），故选：A【分析】根据向量的加减的坐标运算即可求出 2、【答案】C 【考点】两角和与差的余弦函数 【解析】【解答】解：cos215sin215=cos215=cos30= 故选C【分析】将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出值 3、【答案】D 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解：根据题意，向量 =（1，
6、2），则| |= = ， 即| |= ，故选：D【分析】根据题意，由向量的坐标结合向量的模的计算公式，计算可得答案 4、【答案】B 【考点】不等式比较大小 【解析】【解答】解：ab0， a+cb+c， ，acbc，当c=0时，D不成立，故选：B【分析】利用不等式的基本性质即可得出 5、【答案】A 【考点】两角和与差的正切函数 【解析】【解答】解：tan=3，tan（+）=2， tan（+）= =2= ，解得tan= 故选：A【分析】利用两角和与差的正切函数公式化简tan（+），将tan的值代入计算即可求出tan的值 6、【答案】A 【考点】向量的三角形法则 【解析】【解答】解： ， = = =
7、 故选：A【分析】利用平行四边形的性质、向量的运算性质即可得出 7、【答案】B 【考点】正弦定理 【解析】【解答】解：b=2，B= ，C= ， 由正弦定理 得：c= = =2 ，A= ，sinA=sin（ + ）=cos = ，则SABC= bcsinA= 22 = +1故选B【分析】由sinB，sinC及b的值，利用正弦定理求出c的值，再求出A的度数，由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积 8、【答案】D 【考点】等差数列的前n项和 【解析】【解答】解：在等差数列an中，a1=3，a10=3a3 ， 3+9d=3（3+2d），解得d=2，an的前12项和S12
8、=12 =168故选：D【分析】由等差数列的通项公式求出公差，由此能求出an的前12项和S12 9、【答案】A 【考点】平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解：方法一：如图所示，过点C作CDBA，交于点D， = =| | |cosB=| |+| |cos（180150）=（1+ ）=1 方法二，等腰三角形ABC中，A=150，AB=AC=1，B=15，cos15=cos（4530）= + = 由余弦定理可得BC2=AB2+AC22ABACcosA=1+12（ ）=2+ ，BC= =| | |cos（18015）=1 （ ）=1 故选：A【分析】方法一：利用向量的射影即可求出，方法二：根据向量
9、数量积的公式，余弦定理，两角差的余弦公式即可求出 10、【答案】A 【考点】数列递推式 【解析】【解答】解：设等比数列an的公比为q， 由a1+a3=10，a4+a6= ，得 ，q= 则 ，即a1=8 故选：A【分析】由已知列式求出等比数列的公比，进一步求出首项，代入等比数列的通项公式得答案 11、【答案】B 【考点】y=Asin（x+）中参数的物理意义 【解析】【解答】解：y=sin（ 2x）+cos2x = cos2x sin2x+cos2x= cos2x sin2x= cos（2x+ ），三角函数y=sin（ 2x）+cos2x的振幅和最小正周期分别为： ，故选：B【分析】直接利用特殊角
10、的三角函数值以及两角和的正弦函数公式、余弦函数公式化简函数解析式为y= cos（2x+ ），然后求解最小正周期和振幅 12、【答案】B 【考点】解三角形的实际应用 【解析】【解答】解：如图，DAB=15， tan15=tan（4530）= =2 在RtADB中，又AD=60，DB=ADtan15=60（2 ）=12060 在RtADC中，DAC=60，AD=60，DC=ADtan60=60 BC=DCDB=60 （12060 ）=120（ 1）（m）河流的宽度BC等于120（ 1）m故选：B【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，
11、作差后可得答案 二、填空题： 13、【答案】x|x1或x 【考点】一元二次不等式的解法 【解析】【解答】解：不等式2x2x30可化为（2x3）（x+1）0不等式对应方程的两个实数根分别为 和1，不等式的解集为x|x1或x 故答案为：x|x1或x 【分析】把不等式化为（2x3）（x+1）0，求出不等式对应方程的实数根，写出解集即可 14、【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】【解答】解：设向量 ， 的夹角为，0， =（1，1）， =（2，0）， cos= = = ，即向量 ， 的夹角的余弦值为 ，故答案为： 【分析】利用两个向量的数量积的定义，求得向量 ， 的夹角的余弦值 15、【答
12、案】6 【考点】等比数列的前n项和，等比关系的确定 【解析】【解答】解：an+1=2an ， ，a1=2，数列an是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，Sn= = =2n+12=126，2n+1=128，n+1=7，n=6故答案为：6【分析】由an+1=2an ， 结合等比数列的定义可知数列an是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解 16、【答案】【考点】等差数列的性质 【解析】【解答】解：bcosB是acosC，ccosA的等差中项， 2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBco
13、sB=sin（A+C）=sinB，又sinB0，上式两边同除以sinB可得cosB= ，0B，B= 故答案为： 【分析】由题意可得2bcosB=acosC+ccosA，结合正弦定理和三角函数公式可得cosB= ，由三角形内角的范围可得B值 三、解答题 17、【答案】（1）解：根据题意， =（3，2）， =（1，y）， 若 ，则有 =3+2y=0，解可得：y= （2）解：根据题意， =（3，2）， =（x，5）， 若 ，则有2x15=0，解可得： 【考点】平行向量与共线向量，平面向量数量积的运算 【解析】【分析】（1）根据题意，由 可得 =0，由向量数量积的坐标计算公式可得 =3+2y=0，解可
14、得y的值；（2）根据题意，由向量 、 的坐标，结合向量平行的坐标表达式可得2x15=0，解可得x的值 18、【答案】（1）解： ， ， ， （2）解： ， = 【考点】两角和与差的余弦函数，两角和与差的正弦函数 【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos的值，进而利用两角和的正弦函数公式即可计算得解（2）利用二倍角公式可求sin2，cos2的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解 19、【答案】解：（）设等比数列an的公比为q， 由a2=3，a5=81，得，解得 ；（） ，bn=log3an ， 则数列bn的首项为b1=0，由bnbn1=n1（n2）=1（n2），可
15、知数列bn是以1为公差的等差数列 【考点】等差数列的前n项和，等比数列的通项公式 【解析】【分析】（）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；（）把（）中求得的an代入bn=log3an ， 得到数列bn的通项公式，由此得到数列bn是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案 20、【答案】解：（）由正弦定理得a2+c2 ac=b2 ， 由余弦定理可得b2=a2+c22accosB，故cosB= ，B=45（）sinA=sin（30+45）=sin30cos45+cos30sin45= 故a=b = =1+ c=b =2 = 【考点】解三角形
16、 【解析】【分析】（）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B（）利用两角和公式先求得sinA的值，进而利用正弦定理分别求得a和c 21、【答案】解：（）函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+1+cos2x= sin（2x+ ）+1， f（ ）= sin（ + ）+1= sin +1= +1=2（）函数f（x）= sin（2x+ ）+1，故它的最小正周期为 =令2k 2x+ 2k+ ，kZ，求得k xk+ ，故函数的单调递增区间为k ，k+ ，kZ 【考点】二倍角的正弦，二倍角的余弦，三角函数的周期性及其求法 【解析】【
17、分析】（）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）= sin（2x+ ）+1，从而求得f（ ）的值（）根据函数f（x）= sin（2x+ ）+1，求得它的最小正周期令2k 2x+ 2k+ ，kZ，求得x的范围，可得函数的单调递增区间 22、【答案】证明：（）数列an的前n项和为Sn ， 且满足an=2Sn1（nN*）， 当n=1时，a1=2S11=2a11，解得a1=1，当n2时，由an=2Sn1，得an1=2Sn11，得：anan1=2an ， 整理，得an=an1 ， an是首项为1，公比为1的等比数列解：（）an是首项为1，公比为1的等比数列， ，bn=（2n+1）an=（2n+1）（
18、1）n1 ， bn的前n项和：Tn=3（1）0+5（1）+7（1）2+（2n+1）（1）n1 ， Tn=3（1）+5（1）2+7（1）3+（2n+1）（1）n ， ，得：2Tn=3+2（1）+（1）2+（1）3+（1）n1（2n+1）（1）n=3+2 （2n1）（1）n=（2n+2）（1）n1+2，Tn=（n+1）（1）n1+1=1（n+1）（1）n 【考点】数列的求和，数列递推式 【解析】【分析】（）an=2Sn1（nN*），推导出a1=1，an=an1 ， 由此能证明an是首项为1，公比为1的等比数列（）由 ，得bn=（2n+1）an=（2n+1）（1）n1 ， 由此利用错位相减法能求出bn的前n项和
