1、目标导航1能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系(重点)2能够灵活运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简、求值、证明(难点)1 新知识预习探究 知识点 二倍角的正弦、余弦、正切公式阅读教材 P132P133，完成下列问题名称公式记法二倍角的正弦sin22sincosS2二倍角的余弦cos2cos2sin22cos2112sin2C2二倍角的正切tan2 2tan1tan2T2【思考】老师说：二倍角公式中的“二倍”是相对的，小明反思不得其解，你能帮他解释一下吗？【提示】说二倍角是相对的，是指对于两个角的比值为 2 的情况都成立，如 6 是 3
2、的 2 倍，是2的 2 倍等，并不是只能解决 2与 的问题【练习】(正确的打“”，错误的打“”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角()(2)存在角，使得 sin22sin 成立()(3)对于任意的角，cos22cos 都不成立()2 新视点名师博客 二倍角公式的变形(1)升幂公式：1cos22cos21cos22sin2(2)降幂公式：cos21cos22sin21cos22(3)万能公式：sin2 2tan1tan2cos21tan21tan23 新课堂互动探究 考点一给角求值问题例 1 求下列各式的值：(1)sin28cos28；(2)8sin 48cos 48cos 2
3、4cos 12.分析：直接利用公式可求出结果解析：(1)原式cos4 22.(2)原式4sin 24cos 24cos 122sin 12cos 12sin612.点评：善于研究公式的结构特征，直接利用公式少走弯路变式探究 1 化简下列各式：(1)12cos214cos28；(2)3sin2 12sin 12cos 12.解析：(1)12cos214cos28121cos282cos2811cos28cos282.(2)3sin2 12sin 12cos 12 31cos6212sin6 32 32 cos612sin6 32 34141 32 2 32.考点二 给值求值问题例 2已知 sin
4、cos13，且 0，求 sin2，cos2，tan2的值分析：sincos13 sin2 cos2 tan2解析：sincos13，sin2cos22sincos19，sin289且 sincos490，00，cos0，sincos 1sin2 173，cos2cos2sin2(sincos)(cossin)13 173 179，tan2sin2cos28 1717.点评：对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解变式探究 2 已知 tan4 12，求sin22cos2
5、1tan的值解析：tan4 12，1tan1tan12，解得 tan3.原式2sincos2cos21tan2cos21tan1tan2cos2(2)4cos241tan2413225.考点三 化简与证明例 3 化简：(1)cos101 3tan10cos70 1cos40；(2)2cos212tan4 sin24.分析：解答本题可把切化弦，并逆用二倍角公式便可求解解析：(1)原式cos101 3sin10cos102cos20sin20cos10 3sin1022 sin40212cos10 32 sin1022 sin402 2sin40sin402 2.(2)原式2cos212sin4c
6、os4cos242cos212sin4 cos42cos21cos2cos2cos21.点评：被化简的式子中有切函数和弦函数时，常首先切化弦，然后分析角的内部关系，是否有互余或互补的，若有，应用诱导公式转化，若没有，再分析角间是否存在线性关系，并利用两角和与差的三角函数展开，经过这样处理后，一般就会化简完毕变式探究 3(1)化简：11tan11tan；1cos100 1cos100.(2)求证：1sin2cos21sin2cos2tan；sin2sin2cos22sin2costan.解析：(1)原式1tan1tan1tan1tan 2tan1tan2tan2.原式 2cos250 2sin2
7、50 2cos50 2sin502(cos45cos50sin45sin50)2cos952sin5.(2)证明：左边12sincos12sin212sincos2cos212sincossin2cossincossincostan右边，所以原式成立左边2sincossin2cos2sin22sin2cossin2cos1cos2cos1tan右边，所以原式成立.4 新思维随堂自测1.cos48sin48等于()A0 B.22C1 D 22解析：原式cos28sin28 cos28sin28 cos4 22.答案：B2.2sin21cos2cos2cos2等于()Atan Btan2C1 D.
8、12解析：原式2sin22cos2cos2cos2sin2cos2tan2.答案：B3已知 x2，0，cosx45，则 tan2x 等于()A.724B 724C.247D247解析：x2，0，cosx45，sinx 1cos2x35，tanxsinxcosx354534，tan2x 2tanx1tan2x234134232716247，故选 D.答案：D4化简：sin40(tan10 3)_.解析：原式sin40sin10cos10 3 sin40cos10(sin10 3cos10)2sin40cos10 12sin10 32 cos10 2sin40cos10 cos40sin80cos
9、10 1.答案：15已知 2，sin 55，则 tan2_.解析：2，sin 55，cos15522 55.tan12，tan2 2tan1tan2212112243.答案：435 辨错解走出误区易错点：忽略角的范围而导致错误【典例】化简222 22cos(34)【错解】原式2222cos224sin2822sin8 2cos 16sin 16.【错因分析】错解中利用倍角公式从里到外去根号时，只是机械地套用公式，而没有考虑角的范围对函数值的影响，从而导致错误【正解】34，32 22，34 4，38 82，316 164，原式2222cos2222cos422cos82sin 16.【反思】在利用倍角公式去根号时，易忽略角的范围而没有正确对函数值进行取舍，从而导致错误.