1、 第三章第 7 课时 正弦定理和余弦定理 课时闯关（含答案解析）一、选择题 1已知ABC 中，ac2，A30，则 b()A.3 B2 3 C3 3 D.31 解析：选 B.ac2，AC30，B120.由余弦定理可得 b2 3.2(2012郑州六校质量检测)ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若cbcosA，则ABC 为()A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形 解析：选 A.依题意得sinCsinBcosA，sinCsinBcosA，所以 sin(AB)sinBcosA，即 sinBcosAcosBsinAsinBcosA0，所以 cosBsinA0.又 s
2、inA0，于是有 cosB0，B 为钝角，ABC 是钝角三角形 3(2011高考重庆卷)若ABC 的内角 A、B、C 满足 6sinA4sinB3sinC，则 cosB()A.154 B.34 C.3 1516 D.1116 解析：选 D.由 6sinA4sinB3 sinC 得 sinAsinBsinC234.设ABC 中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则由正弦定理知 abc234，不妨设 a2k，b3k，c4k()k0，则 cosBa2c2b22ac()224232 k222k4k1116.4在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，已知 b2c(b2c)，若 a
3、 6，cosA78，则ABC 的面积等于()A.17 B.15 C.152 D3 解析：选 C.b2c(b2c)，b2bc2c20，即(bc)(b2c)0，b2c.又 a 6，cosAb2c2a22bc78，解得 c2，b4.SABC12bcsinA1242 1782 152.5在ABC 中，已知A60，b4 3，为使此三角形只有一个，则 a 满足的条件是()A0a4 3 Ba6 Ca4 3或 a6 D0a4 3或 a6 解析：选 C.三角形有唯一解时，即由 a，b，A 只能画唯一的一个三角形(如图)所以 absinA 或 ab，即 a6 或 a4 3.二、填空题 6在ABC 中，若 b5，B
4、4，tanA2，则 sinA_；a_.解析：由 tanA2 得 sinA2cosA.又 sin2Acos2A1 得 sinA2 55.b5，B4，根据正弦定理，应有 asinA bsinB，absinAsinB 2 5222 10.答案：2 55 2 10 7(2011高考课标全国卷)ABC 中，B120，AC7，AB5，则ABC 的面积为_ 解析：由余弦定理知 AC2AB2BC22ABBCcos120，即 4925BC25BC，解得 BC3.故 SABC12ABBCsin1201253 32 15 34.答案：15 34 8在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若(3bc
5、)cosAacosC，则 cosA_.解析：依题意由正弦定理得：(3sinBsinC)cosAsinAcosC，即 3sinBcosAsin(AC)sinB，cosA 33.答案：33 三、解答题 9(2012成都调研)已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a，b，c成等比数列，且 A，B，C 成等差数列，求角 B 的大小，并判断ABC 的形状 解：A，B，C 成等差数列，ABC，2BAC，B3.由余弦定理，得 b2a2c2ac，又a，b，c 成等比数列，b2ac.由，知 a2c22ac0，即(ac)20，ac.又B3，ABC是等边三角形 10设ABC 的内角 A，
6、B，C 所对的边长分别为 a，b，c，且 cosB45，b2.(1)当 A30时，求 a 的值；(2)当ABC 的面积为 3 时，求 ac 的值 解：(1)因为 cosB45，所以 sinB35.由正弦定理 asinA bsinB，可得asin30103.所以 a53.(2)因为ABC 的面积 S12acsinB，sinB35，所以 310ac3，ac10.由余弦定理 b2a2c22accosB，得 4a2c285aca2c216，即 a2c220.所以(ac)22ac20，(ac)240，所以，ac2 10.11(2011高考浙江卷)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 sinAsinCpsinB(pR)，且 ac14b2.(1)当 p54，b1 时，求 a，c 的值；(2)若角 B 为锐角，求 p 的取值范围 解：(1)由题设并由正弦定理，得 ac54，ac14，解得 a1，c14，或 a14，c1.(2)由余弦定理，b2a2c22accosB(ac)22ac2accosB p2b212b212b2cosB，即 p23212cosB.因为 0cosB0，所以 62 p 2.
