1、课题：4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义 一、教学分析1.教材分析：任意角的三角函数是本章教学内容的基本概念，对三角内容的整体学习至关重要。同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备，通过这部分内容的学习，又可以帮助学生更加深入的理解函数这一基本概念。2.学情分析： 初中已经学习了锐角的三角函数 学生具备了一定的自学能力，部分同学有学习数学的积极性 数学的基本意识不够，需要教师的引导二、教学目标知识与技能目标:（1）了解任意角的正弦函数、余弦函数定义产生的背景和应用；（2）掌握任意角的正弦函数与余弦函数的定义，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数，并能应用过程与方法目标:（1）
2、通过参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合理猜测的能力，体会函数模型思想，数形结合思想（2）培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力情感态度价值观目标:在学习中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性感悟数学的本质，培养追求真理的精神通过本节的学习，使同学们对正弦函数与余弦函数有了一个全新的认识，通过对定义的应用，提高学生分析、解决问题的能力三、教学重难点教学重点: 任意角的正弦函数与余弦函数的定义（包括定义域和函数值在各象限的符号）及其应用。教学难点: 1.任意角的正弦函数与余弦函数的定义及其构建过程的理解.2.特殊角的正弦、余弦函数的计算。四、教学方法与教学手段问题讨论与类比、合作
3、探究、讲练结合及多媒体课件演示的方法五、教学过程教学阶段教师活动学生活动设计意图（一）回顾旧知，问题引入问1：初中我们学过锐角三角形的正弦与余弦函数，同学们还记得它是怎样表示的吗？你还记得3045、60的正弦、余弦值是多少吗？学生回答：sina=对边/斜边，cosa=邻边/斜边；sin30=cos60=1/2;cos30=sin60=sin45=cos45=温故而知新（二）新知探究-正弦、余弦函数的准确定义及性质问2：我们在前面已学过的任意角，那么任意角的正弦、余弦函数又该如何定义和求解呢？（提示：把角引用到直角坐标系中探究） 【师】a为任意角（包括正角、负角和零角），前一节我们已学过，显然利
4、用初中正弦函数与余弦函数的定义已经不能满足需求，因此，我们必须重新定义正弦、余弦函数今天，我们将在直角坐标系中，对此作深入探讨学生思考跟着教师思维走进新课堂启发学生学会在坐标轴上构建三角形，利用学过的三角函数套入公式 (已知|op|=1)，得出任意角的正弦、余弦函数定义课堂探究 如图,在直角坐标系中，我们作出一个以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，该圆称为单位圆设锐角为，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)。讨论：在单位圆中，任意角的sin 与cos函数值又是什么？（构建三角形，可直接用锐角三角形的正弦、余弦公式求解）得出结果：问3：任意角有不同的象限角，那么，其他象限角的正弦
5、、余弦函数是否也得到这样的结果？继续构建三角形，用学过的知识进一步求证培养学生独立思考、多角度考虑问题的能力问4：大家得出其他象限里任意角的正弦、余弦是否与第一象限一致呢？（提示：讨论的前提条件都是在单位圆内）【学生归纳】得出任意角的正弦函数、余弦函数定义：点P的纵坐标V定义为角a的正弦函数，记作v=sina;点P的横坐标u定义为角a的余弦函数，记作u=cosa。问5：由图可知，对于给定的角a，点P的横、纵坐标都是唯一确定的，那么，正弦、余弦函数又是一个什么量呢？学生思考，可能得出结论：正弦、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数。问6：如果我们用x表示自变量（即x表示任意
6、角大小），用y表示函数值，则得到任意角的正弦函数又如何表达呢？学生思考并作回答：正弦为y=sinx;余弦为 y=cosx；（是一个y关于x为自变量的函数） （二）新知探究-正弦、余弦函数的准确定义问7：我们学过函数的定义域和值域，那么在上述定义中，任意角的正、余弦函数的定义域与值域分别是什么呢?结合单位圆图形分析得出：x表示任意角的大小，所以定义域为：全体实数R；而在单位圆中显然y-1,1，故值域为：-1,1培养学生学会从特殊现象里找出普遍现象。问8：在单位圆里，任意角的正、余弦函数定义域是如此，那如果终边上一点P（u,v）不在单位圆上时（即在圆外）,它的三角函数定义域及值域还成立吗? 学生自
7、由探讨引导学生根据所学相似三角形性质得出结论：三角函数的值与点P(x,y)在终边上的与位置无关，所以定义域成立。算出：op=利用相似三角形性质得出：发现: 三角函数的值与点P(x,y)在终边上的与位置无关，只与坐标比值、角度有关。问9：对于任意角（正角、负角）的三角函数定义都成立，那么对于零角，它是否还成立呢？学生动手，简单证明（结论依然成立）得出结论：正余弦函数是以角度为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故它们也可以看成以实数为自变量的函数.学生齐读正弦、余弦函数的定义，进一步理解函数的定义。让学生通过读书加深对定义的理解（
8、三）问题探究-讨论函数在每一象限上的取值当角a的终边分别在第一、第二、第三、第四象限时，角a正弦函数值、余弦函数值的有正负之分吗？（完成课本P15页表格）学生思考，填写课本15页表格体现出坐标轴与函数的关系引导学生根据坐标轴取值进行讨论得出结论：有符号之分（采用记忆法：“一正正，二正负，三负负，四负正”）加强学生对函数性质的记忆（四）、新知应用例 1 已知角a终边上有一点P（-3，4）,求sina和cosa的值。变式：已知角a终边上有一点P（-3b，4b）且b0，求sina和cosa的值。例 2 sina0，cosa0 则a在第 象限。例3 在直角坐标系的单位圆中，a=-p/4，（1）画出角a
9、；（2）求出角a的终边与单位圆的交点坐标；分析：把弧度制化为角度制，再按顺时针画角度。利用三角形正弦、余弦函数的定义求出坐标。学生跟随老师分析思路认真思考，之后讨论并总结解题思路，最后加以完善。巩固并加深理解任意角的正弦、余弦函数的定义以及利用单位圆解题，熟悉并善于利用数形结合的思想解题。当堂训练：1.已知角 终边上一点 (x0),且cos=,求sin的值。2.已知角的终边在直线上，求sin，cos的值。学生思考并计算通过变式提升学生多角度思考、解决问题能力教师小结-利用三角函数的定义求值的策略学生学习（五）拓展延伸问10：我们知道，在直角坐标系的单位圆中，有各种特殊角，请问你能求出各种特殊角
10、的正弦、余弦函数吗？同时，你会发现这些特殊角的函数值会有什么规律？学生填写课本16页的表格，观察各种特殊角的坐标，引出周期函数的探究与学习。抛问题，让学生学会发现与归纳问题（六）小结与作业这节课你学到了什么？ 提示：1.任意角三角函数定义2.任意角的三角函数在不同象限的正负判断3.任意角的三角函数线作业：习题1-4 A组1至4学生总结：三角函数的值与终边无关三角函数与单位圆的关系正弦在第一、二象限为正余弦在第一、四象限为正做三角函数线的步骤培养学生良好的学习习惯六、板书设计：一、问题引入二、在单位圆中正、余弦函数三、在直角坐标系中的正、余弦函数四、例题与变式例题1 变式例题2例题3五、当堂训练六、小结与作业