1、广东省佛山市三水区三水中学2019-2020学年高二数学下学期第二次统考试题（含解析）本试卷总分150分，共4页；考试时间120分钟.注意事项：答卷前考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号写在答题卡上，所有答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液. 一、单选题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1.复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】化简求得复数为，然后根据复数几何意义，即可得到本题答案.【详解】因为，所
2、以在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数的四则运算和复数的几何意义，属基础题.2.给出以下四个说法：残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好；在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加个单位；对分类变量与，若它们的随机变量的观测值越小，则判断“与有关系”的把握程度越大其中正确的说法是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据残差点分布和相关指数的关系判断是否正确，根据相关指数判断是否正确，根据回归直线的知识判断是否正确，根据联表独立性检验的知识判断是否正确.【详解】残
3、差点分布宽度越窄，相关指数越大，故错误.相关指数越大，拟合效果越好，故正确.回归直线方程斜率为故解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加个单位，即正确.越大，有把握程度越大，故错误.故正确的是，故选D.【点睛】本小题主要考查残差分析、相关指数、回归直线方程和独立性检验等知识，属于基础题.3.点是曲线上任意一点，曲线在点处的切线与平行，则的横坐标为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先设，对函数求导，得到，根据题意，得出，求解，即可得出结果.【详解】由题意，设，由得，则，因为曲线在点处的切线与平行，所以，解得：或（舍）故选：A.【点睛】本题主要考查已知曲线上某点处的切线斜
4、率求参数的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.4.的展开式中x的系数为（ ）A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】D【解析】【分析】写出展开式的通项公式，令的指数为1求得项数后可得系数【详解】由题意，令，所以的系数为故选：D【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项式展开式的通项公式是解题关键5.复数的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：,故选D.考点：复数的运算与复数相关的概念.6.为了提高命题质量，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）种A. 90种B. 36种C
5、. 150种D. 108种【答案】C【解析】【分析】将5名老师分为和的两种情况，计算得到答案.【详解】5名老师分为的情况时：共有；5名老师分为的情况时：共有，故共有种不同的分派方法.故选：C.【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的计算能力和应用能力，没有考虑平均分组是容易发生的错误.7.的展开式的各项系数和为243，则该展开式中的系数是（ ）A. 5B. C. D. 100【答案】C【解析】【分析】展开式的各项系数和为的值，求出的值，根据产生的项可求其系数【详解】解：，所以=展开式中的系数是：故选：C【点睛】考查二项展开式中各项系数的和的求法和求特定的项；基础题.8.函数的图象大
6、致是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设，则的定义域为.，当，单增，当，单减，则.则在上单增，上单减，.选B.【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.9.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）A. 360种B. 720种C. 480种D. 42
7、0种【答案】D【解析】【分析】根据题意，分4步依次分析区域、的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案【详解】根据题意，如图，设5个区域依次为、，分4步进行分析：对于区域，有5种颜色可选；对于区域，与区域相邻，有4种颜色可选；对于区域，与、区域相邻，有3种颜色可选；对于区域、，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域、有种选择，则不同的涂色方案有种；故选：D【点睛】本题考查排列、组合的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分类讨论的应用.10.已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D.
8、【答案】D【解析】【详解】试题分析：根据可知，令为增函数，所以恒成立，分离参数得，而当时，最大值为，故.考点：函数导数与不等式，恒成立问题二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，满分10分.每小题给出的四个选项中，有两项或两项以上是符合题目要求.） 11.下列说法中，正确的命题是（ ）A. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3；B. 事件为必然事件，则事件、是互为对立事件；C. 设随机变量，若，则；D. 甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则.【答案】ACD【解
9、析】【分析】根据回归方程，对立事件，正态分布的性质和条件概率公式，依次计算判断每个选项得到答案.【详解】，两边取对数得到，故，的值分别是和0.3，A正确；B错误，举反例：随机投一个骰子，事件表示骰子点数为1,2,3,4，事件表示骰子点数为4,5,6，不是对立事件；根据对称性：，故，C正确；，D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了回归方程，对立事件，正态分布和条件概率公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则下列命题正确的是（ ）A. 当时，B. 函数有3个零点C. 的解集为D. ，都有【答案】BCD【解析】【分析】设，则，则由题意得，根据奇函数即
10、可求出解析式，即可判断A选项，再根据解析式分类讨论即可判断B、C两个选项，对函数求导，得单调性，从而求出值域，进而判断D选项【详解】解：（1）当时，则由题意得， 函数是奇函数， ，且时，A错； ，（2）当时，由得，当时，由得， 函数有3个零点，B对；（3）当时，由得，当时，由得， 的解集为，C对；（4）当时，由得，由得，由得， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上有最小值，且，又 当时，时，函数在上只有一个零点，当时，函数的值域为，由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为， 对，都有，D对；故选：BCD【点睛】本题主要考查奇函数的性质，考查已知奇函数一区间上的解析式，求其对称区间上解析式
11、的方法，考查函数零点的定义及求法，以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，属于较难题三、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分. 请把答案填在对应题号后面的横线上）13.已知为虚数单位，复数满足，则_.【答案】1【解析】【分析】利用复数的四则运算求出，再求其模【详解】因为，所以，则.故答案为：1.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题14.函数在上的最大值是_【答案】【解析】【分析】求出导函数，求解极值点，然后判断函数的单调性求解函数的最大值即可【详解】函数，令，解得因为，函数在上单调递增，在单调递减；时，取得最大值，故答案为【点睛】本题考查
12、函数的导数的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键15.春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动已知某种盆栽植物每株成活的概率为，各株是否成活相互独立该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设为其中成活的株数，若的方差，则_【答案】【解析】【分析】由题意可知：，且，从而可得值【详解】由题意可知：，即,故答案为：【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题16.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如，等，显然位回文数有个：，位回文数有个：，（）位回文数有_个（）位回文数有_个【答案
13、】 (1). 90 (2). 【解析】（）位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有种选法，第二步，选中间两位数字，有种选法，故位回文数有个（）第一步，选左边第一个数字，有种选法，第二步，分别选左边第、个数字，共有种选法，故位回文数有个.四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17.已知函数的图象经过点，且在点处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间【答案】（1）f（x）=x33x23x+2；（2）f（x）的单调增区间为（,1），（1+,+）；单调减区间为（1,1+）.【解析】【详解】分
14、析：（1）求出导函数，题意说明，由此可求得；（2）解不等式得增区间，解不等式得减区间.详解：（1）f（x）的图象经过P（0，2），d=2，f（x）=x3+bx2+x+2，f（x）=3x2+2bx+ 点M（1，f（1）处的切线方程为6xy+7=0 f（x）|x=1=3x2+2bx+=32b+=6， 还可以得到，f（1）=y=1，即点M（1，1）满足f（x）方程，得到1+ba+2=1 由、联立得b=3 故所求的解析式是f（x）=x33x23x+2（2）f（x）=3x26x3令3x26x3=0，即x22x1=0.解得x1=1- ,x2=1+.当x1+时，f（x）0；当1-x1+时，f（x）0. 故f
15、（x）的单调增区间为（,1），（1+,+）；单调减区间为（1,1+）点睛：（1）过曲线上一点处的切线方程是；（2）不等式解集区间是函数的增区间，不等式的解集区间是的减区间.18.2019年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中，中国队与韩国队相遇，中国队男子选手A，B，C，D，E依次出场比赛，在以往对战韩国选手的比赛中他们五人获胜的概率分别是0.8，0.8，0.8，0.75，0.7，并且比赛胜负相互独立.赛会釆用5局3胜制，先赢3局者获得胜利.（1）在决赛中，中国队以31获胜的概率是多少？（2）求比赛局数的分布列及数学期望.【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】（1）首先要
16、确定中国队以31获胜需要满足的条件，即前3局比赛中至少要胜2场，且第4局必胜，再利用独立事件的概率计算公式即可求解；（2）首先要确定比赛结果的各种情况（包含中国胜和韩国胜），在31，32这两种情况中要先确定哪局比赛输了再计算出相应的概率，从而得到比赛局数的分布列和数学期望.【详解】解：（1）若中国队以31获胜，则前三局中赢两局输局，第四局比赛胜利，设中国队以31获胜为事件A，则.（2）设比赛局数为X，则X的取值分别为3，4，5，则，则X的的分布列为X345P0.5200.3120.168.【点睛】本题考查独立事件的概率计算、随机变量的分布列与数学期望，考查考生的运算求解能力和数据处理能力，属于
17、简单题.19.为了解某地区某种产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）和利润的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（1）求关于的线性回归方程；（2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润取到最大值？（保留两位小数）参考公式： ，【答案】(1) (2) ，年利润最大【解析】分析：（1）由表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程； （2）年利润函数为，利用二次函数的图象与性质，即可得到结论. 详解：（1）， ，解得：，所以：，（2）年利润所以，年利润最大. 点睛：本题考查了线性回归方程以及利用回归方程预测生产问题，试题比较基
18、础，对于线性回归分析的问题：（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性20.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评对车辆状况不满意合计（1）能否在犯错误的概率不超
19、过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张面额为元，元，元的 三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.参考数据：参考公式：，其中.【答案】(1) 在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.(2)分布列见解析；（元）【解析】试题分析：（1）由题意求得 的值，然后即可确定结论；（2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期
20、望即可试题解析（1）由列联表的数据，有 .因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.（2）由题意，可知一次骑行用户获得元的概率为.的所有可能取值分别为，.， ， ， ，的分布列为：的数学期望为 （元）. 21.已知函数（其中是自然对数的底数），（）求函数的极值；（）设，若满足且，试判断方程的实数根个数,并说明理由【答案】（），但无极小值；（）有2个实数根，利用见解析.【解析】【分析】（I）利用的导函数研究的单调性，由此求得的极值.（II）求得的表达式，求得其导函数，由此求得的单调区间、极小值（最小值），结合零点存在性定理，判断出有两个实数根.【详解】（）因为
21、，所以当时，此时单调递增；当时，此时单调递减所以，但无极小值（）因为，所以因为，所以，于是令，得或当时，此时单调递增；当时，此时单调递减；当时，此时单调递增所以因为，所以，又函数在上连续，故有一个零点为0，且在上也有一个零点综上，方程有2个实数根【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查利用导数研究函数的零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22.已知函数，其中（）讨论的单调性；（）当时，证明：；（）求证：对任意正整数n，都有（其中e2.7183为自然对数的底数）【答案】（）见解析（）见解析（）见解析【解析】【分析】（1）分别在和两段范围内讨论导函数的正负，从而得到单
22、调区间；（2）将问题转化为证明，通过导数求得，从而证得所证不等式；（3）根据（2）可知，令，则可得，累加可得到所证结论.【详解】（1）函数的定义域为，当时，所以在上单调递增,当时，令，解得：当时， 所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增,综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增;（2）当时，要证明，即证，即,设则，令得，,当时，当时，所以为极大值点，也为最大值点 所以，即故当时，; （3）由（2）（当且仅当时等号成立）,令， 则 ,所以,即所以.【点睛】本题考查讨论含参数函数的单调性、利用导数最值证明不等式问题、与自然数相关的不等式的证明问题.对于导数中含自然数的问题的证明，关键是对已知函数关系中的自变量进行赋值，进而得到与相关的不等关系，利用放缩的思想进行证明，属于难度题.