1、37 函数的极值 一、学习目标理解并掌握函数极值的概念；会求某些函数的极值；会用极值知识解决一些实际问题二、重点难点本节重点：可微函数的极值与最值极值定义：设函数 y f（x）在点 x 0 附近有定义，如果对 x 0 附近的所有的点，都有f（x）f（x 0），则称 f（x 0）是函数 y f（x）的一个极大值，记作 y 极大值f（x 0）；如果对 x 0 附近的所有点，都有 f（x）f（x 0），则称 f（x 0）是函数 y f（x）的一个极小值，记作 y 极小值f（x 0）极大值与极小值统称为极值判别方法：当函数 y f（x）在点 x0 处连续时，判别 f（x 0）是极大（小）值的方法是：如
2、果在x 0 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f（x 0）是极大值如果在 x 0 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x 0)0，那么 f（x 0）是极小值本节难点：对可导函数，f(x 0)0 只是 x 0 点为极值点的必要条件例如，y x 3，在 x 0时 f(0)0，但 x 0 处非极值点；对某点不可导函数，该点也可能为极值点，例如：f（x）|x|，x 0 是极小值，但 x 0 时，函数不可导三、典型例题1怎样用一阶导数求函数的极值：例 1 求下列函数的极值：（1）y x48 x 2 2（2）y x 2ex【解】（1）y4 x316 x，令 y0，解得 x10，x22，x32当
3、 x 变化时，y，y 的变化情况如下表：x（，2）2（2，0）0（0，2）2（2，）y000y极小值14极大值2极小值14当 x 0 时，y 有极大值，y 极大值2；当 x 2 时，y 有极小值，y 极小值14（2）y2 xexx 2 exex（2 x x2）令 y0，解得 x10，x22当 x 变化时，y，y 的变化情况如下表：x（，0）0（0，2）2（2，）y00y极小值0极大值24e当 x 0 时，y 有极小值，y 极小值0；当 x 2 时，y 有极大值，y 极大值24e【点评】上述二例给出求极值的方法：求导数 令导数为 0，求导数为 0 的 x 的值 观察导数为 0 的点在其左、右导数
4、变化情况，此步常用列表法 判断导数为 0 点是否为极值点，极大还是极小值2应用二阶导数判断函数极值的方法例 2 求函数的极值：y 2 e x ex【解一】y2 exex令 y02exex2 e2x1e2 x 21x 21 ln 2在 x 21 ln2 附近y由负到正y 有极小值，y 极小2 2【解二】y2 e x ex令 y0 则 x 21 ln 2y2 e x ex由于：y(21 ln 2)2 e2ln21e2ln21 2 2 2 2 0说明 y在 x 21 ln 2 附近是增函数，即由负到正，所以 y 有极小值 2 2【点评】解法二用了二阶导数判断极值的方法某点一阶导数为 0，二阶导数大于 0，说明一阶导数为增函数，即由负变正，判断为极小值；反之，某点一阶导数为 0，二阶导数小于 0，说明一阶导数为单调减函数，即由正变负，判断此点为极大值点
