1、目标导航1学会推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系(重点、易混点)2能够灵活运用和(或差)角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明(重、难点)1 新知识预习探究 知识点一 两角差的余弦公式阅读教材 P124“探究”P126“例 1”以上内容，完成下列问题 两角差的余弦公式：cos()可简记为 C()，其中，是任意角coscossinsin.【思考】两角差的余弦公式有何特点？【提示】公式的左边是差角的余弦、右边的式子是含同名弦函数之积的和式【练习 1】在ABC 中，已知 sin(AB)cosBcos(AB)sinB1，则ABC 是()A锐角三角形 B钝角三角形C直
2、角三角形D无法确定解析：sin(AB)cosBcos(AB)sinBsin(AB)BsinA1，sinA1，A90，故ABC 是直角三角形答案：C知识点二 两角和与差的正弦、余弦公式阅读教材 P128，完成下列问题【练习 2】(正确的打“”，错误的打“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在，R，使得 sin()sinsin 成立()(3)对于任意，R，sin()sinsin 都不成立()(4)sin54cos24sin36sin24sin30.()知识点三 两角和与差的正切公式阅读教材 P129，完成下列问题【练习 3】若 tan3，tan43，则 tan()_.解
3、析：tan()tantan1tantan343134313.答案：132 新视点名师博客1.对两角差的余弦公式的记忆和理解(1)公式的特点：公式左边是差角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式，可用口诀“余余，正正，号相反”记忆公式(2)注意事项：不要误记为 cos()coscos 或 cos()coscossinsin；同时还要注意公式的适用条件是，为任意角(3)该公式是整章三角函数公式的基础，要理解该公式的推导方法公式的应用要讲究一个“活”字，即正用，逆用，变形用，还要创造条件应用公式，如构造角：()，2 2 等2应用两角和与差的正弦公式应注意以下几点：(1)和差角的正弦公式不能
4、按分配律展开，即sin()sinsin，如 sin36 sin3sin6.(2)牢记公式并能熟练地将左、右两边互化例如化简sin20cos50sin70cos40，能迅速观察出此式等于sin(2050)sin(30)sin3012.(3)，中有一个角为2的整数倍时，利用诱导公式较为简便3公式 T()的结构特征和符号规律(1)公式 T()的右侧为分式形式，其中分子为 tan 和 tan 的和或差，分母为 1 与 tantan 的差或和(2)3 新课堂互动探究 考点一 两角和与差的余弦公式及其应用例 1 求值：(1)sin285；(2)sin70sin5sin20sin85.分析：使用诱导公式转化
5、为特殊角的三角函数进行求解解析：(1)sin285sin(27015)cos15cos(6045)(cos60cos45sin60sin45)6 24(2)原式sin(9020)sin(9085)sin20sin85cos20cos85sin20sin85cos(2085)cos105cos(6045)cos60cos45sin60sin45 2 64.点评：(1)解含非特殊角的三角函数的求值问题的一般思路：把非特殊角转化为特殊角的和与差应用公式求值(2)注意观察所求式子的特点，恰当选用公式，公式的正用逆用都要熟练变式探究 1 求值：(1)cos40cos70cos20cos50.(2)sin
6、 12 3cos 12.解析：(1)原式cos40cos70sin70sin40cos(7040)cos30 32.(2)原式212sin 12 32 cos 122sin6sin 12cos6cos 122cos6 122cos4 2.考点二 两角和与差的正弦公式及其应用例 2 已知 sin13，cos23，且，均在第二象限，求 sin()和 sin()的值分析：先利用平方关系，求出 cos 与 sin 的值，再代入两角和与差的正弦公式求值解析：因 sin13，cos23，且，均在第二象限，故 cos 1sin211322 23，sin 1cos21232 53.所以 sin()sincos
7、cossin1323 2 23 53 22 109，sin()sincoscossin1323 2 23 53 22 109.点评：(1)利用平方关系求 cos 和 sin 的值时一定要注意角，的取值范围，以免出现符号错误(2)正确记忆两角和与差的正弦公式是求解的关键，要注意与两角和与差的余弦公式结构形式的区别，以防混淆变式探究 2(1)求值：sin14cos16sin76cos74.(2)已知 sin45，2，cos 513，是第三象限角，求sin()的值解析：(1)原式sin14cos16sin(9014)cos(9016)sin14cos16cos14sin16sin(1416)sin3
8、012.(2)由 sin45，2，得cos 1sin2145235.又由 cos 513，为第三象限角得sin 1cos21 51321213.sin()sincoscossin45 513 35 1213 5665.考点三 两角和与差的正切公式及其应用例 3 求值：(1)1tan751tan75；(2)tan10tan50 3tan10tan50.分析：(1)能否把原式化为 tantan1tantan的形式？(2)原式与 tan(1050)的结果有什么联系？怎样可变形求解？解析：(1)原式 tan45tan751tan45tan75tan(4575)tan120 3.(2)tan60tan(
9、1050)tan10tan501tan10tan50；tan10tan50tan60(1tan10tan50)，原式tan60(1tan10tan50)3tan10tan50 3 3tan10tan50 3tan10tan50 3.点评：(1)在三角函数式中，常用特殊值的替换，如本题(1)中“1”的替换，1tan45.(2)两角和与差的正切公式的常见变形公式：tantantan()(1tantan)tantan1tantantan.变式探究 3 求下列各式的值：(1)tan75tan15；(2)1 3tan753tan75.解析：(1)原式tan(4530)tan(4530)1tan301ta
10、n301tan301tan301tan3021tan3021tan23022tan2301tan230 2231134.(2)原式33 tan751 33 tan75 tan30tan751tan30tan75tan(3075)tan(45)tan451.考点四 三角函数的条件求值例 4 已知 cos2 19，sin2 23，且2，02，求 cos2.分析：由2 2 2，只要求出 sin2，cos2的值，利用差角的余弦公式可求值解析：因为2，所以422，因为 02，所以20，所以420，所以42，422.又 cos2 190，sin2 230，所以22，022.则 sin2 1cos22 11
11、924 59.cos2 1sin22 1232 53.故 cos2 cos2 2cos2 cos2 sin2 sin219 53 4 59 237 527.点评：(1)本题中巧用角的变换，即2 2 2，将所求角2 转化为已知角2 与2 的差，从而架起了“已知”与“未知”间的桥梁，而不是将未知角2 看成2与2的和，因为角2与2在已知条件中不是单独出现的(2)解答此类问题的基本思路：先看公式中的量，哪些是已知的，哪些是待求的，再利用同角三角函数的基本关系式求出，但在求未知量的过程中，要注意根据角所在的象限确定符号(3)常见的角的变换()()，2 2，2 2，2()()，2()()，4 4 2()等
12、变式探究 4 已知，是锐角，且 sin4 37，cos()1114，求 sin 的值解析：是锐角，且 sin4 37，cos 1sin214 37217.又 cos()1114，均为锐角，sin()1cos25 314，sinsin()sin()coscos()sin5 314 171114 4 37 32.4 新思维随堂自测1.cos57cos12sin57sin12的值是()A0 B.12C.32 D.22解析：原式cos(5712)cos45 22.答案：D2已知 02，且 sin35，cos()45，则 sin()A.0 B0 或2425C.2425D0 或2425 解析：02，sin
13、35，cos()45，cos45，sin()35或35.sinsin()sin()coscos()sin2425或 0.2，sin2425.故选 C.答案：C3设 tan13，tan()2，则 tan 等于()A7 B5C1 D57解析：tantan()tantan1tantan13211321.答案：C4已知 sincos12，cossin13，则 sin()_.解析：将 sincos12两边平方得 sin22sincoscos214将 cossin13两边平方得 cos22cossinsin219得：(sin2cos2)2(sincoscossin)(cos2sin2)1419，12sin
14、()11336，sin()5972.答案：59725已知 32，2，cos45，则 tan4 _.解析：由 cos45且 32，2，则 sin35，tan34，tan4 tan11tan17.答案：175 辨错解走出误区易错点：忽略角的范围而产生增根【典例】2014黄冈中学训练题在ABC 中，sinA35，cosB 513，求 cosC.【错解】sinA35，且 0A，cosA45.cosB 513，且 0B，sinB1213.又 cosCcos(AB)cos(AB)cosAcosBsinAsinB，cosC1665或 cosC5665.【错因分析】以上错解没有正确考虑角 A 的范围，从而产生增根【正解】cosB 513 22，B4，2，则 sinB1213.sinA35 22，A0，4 34，.若 A34，B4，2，则 AB，32，与 ABC 矛盾，A34，A0，4，且 cosA45.cosCcos(AB)cos(AB)45 513351213 1665.【反思】在有范围限制的情况下求三角函数值或角的题目中，常因为没有考虑题中对角的要求，忽略角的范围而产生增根.