1、平面向量与平面几何 湖南省常德市鼎城区一中 龚佑炎一、 自主热身、归纳总结1、在?ABC中，()|2，则?ABC的形状一定是_三角形( )A. 等边 B. 等腰 C. 直角 D. 等腰直角【答案】C.【解析】由()|AC|2，得()0，即()0，20，A90.又根据已知条件不能得到|，故?ABC一定是直角三角形2. 在?ABCD中，|8，|6，N为DC的中点，2，则等于( )A. 48 B. 36 C. 24 D. 12【答案】24【解析】()()22826224.3. 设a，b，c都是单位向量，且ab0，则(ca)(cb)的最小值为 _【答案】1【解析】不妨设a(1，0)，b(0，1)，c(
2、cos，sin)，则易得(ca)(cb)1sin()故得其最小值为1.4、平面上有三个点A(2，y)，B(0，)，C(x，y)，若，则动点C的轨迹方程为 _【答案】y28x(x?0)【解析】由题意得(2，)，(x，)，又，0，即(2，)(x，)0，化简得y28x(x?0)5、在?ABC所在平面上有一点P，满足，则?PAB与?ABC的面积的比值是_.【答案】【解析】由题意可得2，P是线段AC的三等分点(靠近点A)，易知S?PABS?ABC，即S?PABS?ABC13.6、在?ABC中，AB3，AC2，BAC120，.若，则实数的值为_【答案】、 【解析】、解法1(基底法) 因为()(1)，所以(
3、1)()|2(1)|2(12)49(1)(12)23cos1201912，解得.解法2(坐标运算法) 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意有，A(0，0)，B(3，0)，C(1，)，设点M的坐标为(x，y)，则(x3，y)(13，)，即故(34，)(4，)1912，解得.7、在ABC中，|3，|2，则直线AD通过ABC的()A重心 B外心C垂心 D内心解析：选D|3，|2，|.设，则|.，AD平分EAF，AD平分BAC，直线AD通过ABC的内心二、 例题选讲考点一、向量的平行与垂直例1、(1)已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则()A4 B3C2 D1(2)已知向量与的夹
4、角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_【答案】(1)B(2)【解析】(1)(mn)(mn)，(mn)(mn)m2n2(1)21(2)240，解得3.故选B.(2)由，知0，即()()(1)22(1)32940，解得.变式1、(2018苏北四市期末） 如图，在?ABC中，已知AB3，AC2，BAC120，D为边BC的中点若CEAD，垂足为E，连结BE，则的值为_【答案】 【解析】 建立平面直角坐标系xOy，写出A，B，C，D各点的坐标，利用坐标法求解解法1(坐标法) 以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示)，则A(0，0)，B(3，0)，C(1，)，D
5、，所以直线AD：yx，直线CE：yx.联立得E，所以，从而.解法2(向量的数量积) ED2DC2CE2.由(2)2()2，得4AD29467，即AD.因为S?ADCS?ABC，且S?ADCADCECE，所以CE2.故.解法3(基底法) 因为E在中线AD上，所以可设()，则(1)，同理(1)，所以3(1)2213(1)37(1)由E0，得()(1)0，可解得.从而3.考点二、几何背景下平面向量的夹角与模例2、 已知平面向量，满足|1，且与的夹角为120，则的模的取值范围为_【答案】、. (0，【解析】、思路分析 本题题设虽然简单，但不易入手实际上，本题隐含条件：|，|，|必能构成三角形，故引入与
6、的夹角，根据正弦定理，用表示|，利用函数思想求解设与的夹角为，则0120，由正弦定理可得，所以|sin(120)因为0120，所以0120120，所以0sin(120)=1，所以00，所以cos B，又B(0，)，所以B(2)因为|，所以|，即b，根据余弦定理及基本不等式得6a2c2ac2acac(2)ac(当且仅当ac时取等号)，即ac3(2)，故ABC的面积Sacsin B，即ABC的面积的最大值为考点四、平面向量与其它几何特征（1）、平面向量与图形形状例5（1）在中，分别为三角形的重心和外心，且，则的形状是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D上述三种情况都有可能解：又，所以
7、故，故为钝角，所以是钝角三角形（2）已知P为ABC所在平面内一点，0，|2，则ABC的面积等于()A.B2 C3 D4解析由|得，PBC是等腰三角形，取BC的中点D，连接PD(图略)，则PDBC，又0，所以()2，所以PDAB1，且PDAB，故ABBC，即ABC是直角三角形，由|2，|1可得|，则|2，所以ABC的面积为222.答案B变式1、(1)平面四边形ABCD中，0，()0，则四边形ABCD的形状是( )A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形【解析】0?平面四边形ABCD是平行四边形，()0?，平行四边形ABCD是菱形故选B. (2)若O为ABC所在平面内任一点，且满足()(2
8、)0，则ABC的形状为()A正三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形答案C解析因为()(2)0，即()0，()()0，即|，所以ABC是等腰三角形，故选C.（2）、平面向量与三角形四心例6(1)已知是的外心，若，则的最小值为 解：因为，解得 ，故点评：这里又是三角形外心与向量的常见结合题，“外心点积转边投影”是正道。 (2)若是锐角的外心，则.【答案】【分析】由得，将变形为.如图，作，则 三点共线，且.在，故. 变式1已知O是的外心，且，求的值.【解析】设的外接圆半径r=1，由已知得，两边平方得同理可得，所以故有所以变式2已知是的外心，若，则的最大值为 解：由，得即，解得所以点评：这是
9、用向量法处理三角形外心问题的一般套路，在向量等式的两边同时点积两边，可以将向量点积问题转变为边的长度问题。（3）、平面向量与其它几何问题例7（1）.在中，边上的中垂线分别交于，若，则 解：取作为基底向量，则，设由得，即 而得，整理得 将式代入式得，故(2).如图，在半径为1的上，线段是的直径，则的取值范围是 解法一：极化恒等式角度显然当均为的直径时，最大为4；取的中点，则由极化恒等式知故解法二：坐标角度设，所以令则令则（当且仅当时取得等号）(3)在中，过中线中点作一直线分别交边，于两点，设，则的最小值为 解：因为是中点，所以又因为为中点，所以因为三点共线，所以所以当且仅当时等号成立。(4)已知
10、向量的夹角为，向量，的夹角为，则的最大值为 。解法一：，则，又，此时四点共圆（也可能不四点共圆，点C关于AB对称点也可，但要使最大，显然四点共圆时更大）。由正弦定理得，则在中，由余弦定理得即所以解法二：同前，四点共圆由正弦定理得，又所以当且仅当为等腰三角形时，故的最大值为24。解法三：同前，四点共圆由极化恒等式故（5）如图，在扇形OAB中，AOB，C为弧AB上的动点，若xy，则x3y的取值范围是_解析x3y，如图，作，则考虑以向量，为基底显然，当C在A点时，经过m1的平行线，当C在B点时，经过m3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x3y的取值范围是1,3答案1,3变式1若的外接圆
11、是半径为1的圆，且，则的取值范围是 。解法一：是同一个点出发的两个向量作点积，且终点连线确定，显然用极化恒等式是一个不错的选择。（其中为中点）点在圆上运动，故，即故又不与重合，所以，所以解法二：如图建系设点。，因为，所以解法三：基底角度，一问三不知转基底由于不与重合，所以变式2设非零向量满足且，则的取值范围是 解：由得，且又，即的终点在以的终点为圆心，1为半径的圆上就是在上的投影，显然 变式3在中,点满足,过点的直线与,所在直线分别交于点,若,则的最小值为( )A3 B4 C D【答案】A来源:学科网ZXXK【解析】， 三点共线， 则 当且仅当即时等号成立.故选A. 变式4在平行四边形ABCD
12、中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB_.解析(1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则，又，()()22|2|cos60|21|21.|0，又|?0，|. 变式5.在中，已知，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）ABCD【解析】中设，即，根据直角三角形可得，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴建立直角坐标系可得，P为直线上的一点，则存在实数使得,设，则，,，则,故所求的最小值为,故选：D.变式6.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若mn，则mn的取值范围是_解析由点D是圆O外的一点，可设(1)，则(1).因为C，O，D
13、三点共线，令(1)所以(1，1)因为mn，所以m，n，所以mn(1,0)答案(1,0)三、 优化提升与真题演练1、已知单位向量,的夹角为45，与垂直，则k=_.【答案】【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.2、已知向量a，b满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，.，因此，.3、在四边形中，点在线段的延长线上，且，则_【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，DAB=30，则，.因为，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为.由得， 所以.所以.4、如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于
14、点.若，则的值是_【答案】.【解析】如图，过点D作DF/CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD，得即故5.已知在ABC中，AB5，AC10，点P为ABC内（包含边界）一点，且()，则的最小值为 【答案】6.（2020镇江三模12）已知在OAB中，OA，OB2，AOB135，P为平面OAB上一点，且()，当OP最小时，向量与的夹角为 【答案】7.已知，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是_ .【答案】8.已知向量，满足，则的取值范围为 【答案】9.（1）已知，若对任意，则为_三角形.（在锐角、直角、钝角中选择一个填写）（2）已知，
15、若对任意，则为_三角形（在锐角、直角、钝角中选择一个填写）（3）已知，若对任意，则为_三角形（在锐角、直角、钝角中选择一个填写）【答案】（1）直角（2）直角（3）钝角10.已知向量a，b，c满足|a|b|2，|c|1，(ac)(bc)0，求|ab|的取值范围【答案】1，1【解析】如图，设c(1，0)，设A，B是以O为圆心，2为半径的圆上两点，且AC?BC，则|ab|AB2MC.MO2MA2OA2，而MAMC，MO2MC24.设M(x，y)，则x2y2(x1)2y24，即x2y2x.(*)，|ab|AB2MC222.由(*)知，x，即11.?|ab|1.即|ab|的取值范围为1，1.11.已知中
16、， ,且的最小值为，若为边上任意一点,则的最小值是 .【答案】【解析】由条件 ，设，则，其系数和为1设，则，故三点共线由的最小值为，即点到的距离是故中，由余弦定理得,设的中点为，由极化恒等式得，而. 的最小值是 .12.正方形ABCD的边长为1，O为正方形ABCD的中心，过中心O的直线与边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面上一点，满足，则的最小值为 .【答案】【解析】根据题意，的终点在线段BC上，；又O是MN的中点，的最小值是13. （2020镇江五月）在平面直角坐标系中，是圆上两动点，且，点坐标为，则的取值范围为 【答案】【简析】设，则，如图，设则，由勾股定理得，故14.已知点是的外心
17、，且，若，则的值为 .【答案】15. 设是外接圆的圆心，且，则的边长 【答案】216.设O是的外心，若，则的值为 【答案】17在正方形中，分别是边上的两个动点，且，则的取值范围是 解：因为为定值，所以优先考虑使用极化恒等式设为的中点，则这来关键就要找到点的运动轨迹，注意到为直角三角形，是斜边上的中线等于斜边的一半，即，故点在以为圆心，为半径的圆弧上运动故，即所以18.在中，点G为的重心，点O为的外心，则的最小值为 【答案】19.已知，动点分别在射线上运动，使得的面积恒为。点为中点，则的最小值为 。解：由题意可知为的重心，设，则由得以为原点，为轴建系，则，所以，则所以20已知P是边长为3的等边三角形ABC外接圆上的动点，则的最大值【解析】设的外接圆的圆心为，则圆的半径为， ，故.，故，当共线同向时取最大值.21已知圆的半径为1，为圆的一条动弦，以弦为一条边向圆外作正方形，连结，设，若，则的值为 解：过点作于，故22如图，点是以为圆心，1为半径的圆上任意三点，则的最小值是 。解法一：固定点，极化角度设，则解法二：固定点，投影角度设，则所以故