1、2020年“炎德英才杯”高一基础学科知识竞赛数学时量：120分钟 满分：100分一、单项选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.已知集合Ax|2x2，By|yx2，xR，则(A)BA0，1) B.(0，2) C.(，1 D.0，12.设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x3)f(x1)，若当x2，0时，f(x)2x，记af(log2)，bf()，cf(32)，则a，b，c的大小关系为Aabc B.cba C.cab D.acb3.在ABC中，D是边AC上的点，且ADAB，BDAB，BC2BD，则sinC的值为A B. C. D.4
2、.如图，圆O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆O上任意一点，若(x，yR)，则2xy的最大值为A. B. C.2 D.25.如图，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BPPE的最小值为，则该正四面体的外接球的表面积是A.12 B.32 C.8 D.246.已知函数f(x)x2axb，m，n满足mn且f(m)nm，f(n)mn，则当mxn时，有Af(x)xm C.f(x)x07.将函数f(x)sin4xcos4x的图象向左平移个单位长度后，得到g(x)的图象，若函数yg(x)在上单调递减，则正数的最大值为A. B.1 C. D.8.在平面直
3、角坐标系xOy中，过点P(1，4)，向圆C：(xm)2y2m25(1m6)引两条切线，切点分别为A、B，则直线AB过定点A(，1) B(1，) C(，) D.(1，)二、多项选择题(本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。)9.已知圆O：x2y24和圆C：(x2)2(y3)21。现给出如下结论，其中正确的是A圆O与圆C有四条公切线B过C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为xy5或xy10C过C且与圆O相切的直线方程为9x16y300D.P、Q分别为圆O和圆C上的动点，则|PQ|的最大值为3，最小值为31
4、0.如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，CDE是正三角形，M为线段DE的中点，点N为底面ABCD内的动点，则下列结论正确的是A.若BCDE，则平面CDEI平面ABCDB.若BCDE，则直线EA与平面ABCD所成的角的正弦值为C.若直线BM和EN异面，则点N不可能为底面ABCD的中心D.若平面CDE平面ABCD，且点N为底面ABCD的中心，则BMEN11.已知函数f(x)sinxsin(x)，现给出如下结论，其中正确的是Af(x)是奇函数 B.f(x)是周期函数C.f(x)在区间(0，)上有三个零点 D.f(x)的最大值为212.已知函数f(x)，其中x为不小于x的最小整
5、数，如3.54，33，则关于f(x)性质的表述，正确的是A.定义域为x|xZ B.在定义域内为增函数 C.函数为周期函数 D.函数为奇函数三，填空题(共4小题，每小题4分，共16分。)13.若两个非零向量a、b满足(ab)(ab)0，且|ab|2|ab|，则a与b夹角的余弦值为 。14.函数的最小值为 。15.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的梭长为1，中心为O，则四面体OEBF的体积为 。16.已知圆O：x2y21，直线l：y2xa，过直线l上的点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，若存在点P使得，则实数a的取值范围是 。四、解答题(共4小题，每小题11分，共44分。解答应写出文
6、字说明、证明过程或演算步骤。)17.在平面直角坐标系xOy中，动点P(x，y)到两坐标轴的距离之和等于它到定点A(1，1)的距离，记点P的轨迹为C。(1)求点P的轨迹C的方程并作出动点P的轨迹的图形；(2)设Q(x，y)是轨迹C上的任意一点，求：x2y的最大值；x2y2的最小值。18.如图，在平面直角坐标系中，角，的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若()，且点A的坐标为A(1，m)。(1)若tan2，求实数m的值；(2)若tanAOB，求sin2的值。19.如图1，图2，在矩形ABCD中，已知AB2，AD3，点E，F分别在AD，CD上，且AECF1，将四边形ABCE沿EC折起，使点B在平面CDE上的射影H在直线DE上。(1)求证：CDBE；(2)求证：HF/平面ABCE；(3)求直线AC与平面CDE所成角的正弦值。20.已知log20。(1)求x的取值的集合A；(2)xA时，求函数f(x)4x12x3的值域；(3)设g(x)，若yg(x)a有两个零点x1、x2(x1x2)，求ax1的取值范围。
