1、22向量的减法知识点一相反向量 填一填1与a长度相等、方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作a.零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：(a)a；a(a)(a)a0；若a，b互为相反向量，则ab，ba，ab0.答一答1两个相反向量的和等于什么？提示：由向量加法的定义可知：两个相反向量的和为零向量知识点二向量减法 填一填2定义：向量a加上b的相反向量，叫作a与b的差，即aba(b)求两个向量差的运算，叫作向量的减法几何意义：如图，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，即ab表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量答一答2为什么对于任意两个向量a，b，都有|a|b|ab|a|b|?提示：其几何意
2、义是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边根据向量a，b共线与不共线两种情况讨论若a，b中有一个为零向量，则不等式显然成立若a，b都不是零向量，记a，b，则ab.(1)当a，b不共线时，如图所示，则有|，即|a|b|ab|a|b|.(2)当a，b共线时，若a，b同向，如图所示，|，即|ab|a|b|.若a，b反向，如图所示，|，即|a|b|ab|.综上，|a|b|ab|a|b|.同理可证明|a|b|ab|a|b|.综上，|a|b|ab|a|b|.1相反向量满足的两个条件(1)两个向量的方向相反(2)两个向量的长度相等2相反向量的意义(1)在相反向量的基础上，可以通过向量加法定义向量减法(
3、2)为向量的“移项”提供依据利用(a)a0在向量等式的两端加上某个向量的相反向量，实现向量的“移项”3对向量减法的两点说明(1)减法的几何意义ab的几何意义是：当向量a，b的始点相同时，从向量b的终点指向向量a的终点的向量(2)与向量加法的关系aba(b)，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量类型一向量减法的几何意义 【例1】如图，已知向量a，b，c，求作abc.【思路探究】【解】如图，在平面内任取一点O，作a，b，c，则由向量减法的三角形法则，得ab，abc.规律方法 应用三角形法则进行向量减法时，必须平移向量使之共起点，那么终点与终点所确定的向量就是两个向量的差向量，此时差向量的方向指向
4、被减向量的终点对于多个向量的减法运算，一般通过“两两”相减依次运算如图所示，已知向量a和b，画图作出下列向量(1)b；(2)ab；(3)ba；(4)ab.解：如图所示，设a，b，以，为邻边作ABCD.(1)b.(2)ab.(3)ba.(4)ab.类型二向量的加减法的基本运算 【例2】化简：()()_.【解析】解法一：()()()()0.解法二：()()()()0.解法三：设O为平面内任意一点，则有()()()()()()0.【答案】0规律方法 解法一是将向量减法转化为向量加法进行化简的解法二是利用，进行化简的解法三是利用的关系进行化简的 (1)化简：()()0.解析：()()()()0.(2)
5、在五边形ABCDE中，设a，b，c，d，用a，b，c，d表示.解：因为，所以，即bdac，所以bdac.类型三证明与向量有关的恒等式 【例3】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，求证：四边形ABCD为平行四边形(用向量的方法证明)【思路探究】要证明四边形ABCD为平行四边形，只要证明一组对边平行且相等即可，利用向量法证明时，只需证明.【证明】证明：如图，设四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，根据题意，得，.根据向量加法的三角形法则，得，.，AB与DC平行且相等，四边形ABCD为平行四边形规律方法 利用向量解决平面几何问题的一般方法如下：利用数形结合思想将平面几何问题转化为向量
6、问题，通过向量的运算来解决解题的关键是利用向量的加法和减法的几何意义，观察所涉及的向量在图形中的位置关系，运用平面几何的相关性质来寻找它们之间的平行关系或者比例关系若直接寻找向量间的关系有困难，则应考虑作辅助线若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(B)A. B.C. D.解析：由向量的运算法则得.故选B.类型四向量和与差的模 【例4】若|8，|5，则|的取值范围是()A3,8B(3,8)C3,13D(3,13)【思路探究】【解析】因为，故当，共线且同向时，|3；当，共线且反向时，|13；当，不共线时，由|，可得3|13.综上可得3|13.【答案】C规律方法 解与向量的模有关问题
7、的方法(1)利用三角不等式，即|a|b|ab|a|b|求解，用此法求解模的范围时，一定要注意等号成立的条件(2)根据图形的特点，适当运用三角形法则和平行四边形法则进行转化，将模的计算问题转化为三角形或平行四边形的边长的计算问题设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|216，|，则|(C)A8B4C2D1解析：以，为邻边作平行四边形ACDB，则由向量加、减法的几何意义可知，.因为|，所以|.又四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，故ACAB.则AM为RtABC斜边BC上的中线，因此，|2.易错警示向量加减法的几何意义应用中的误区【例5】已知D，E，F分别是ABC的边AB，BC
8、，CA的中点，则()A.0B.0C.0D.0【错解】选B或C或D【正解】因为D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，所以，所以0，故A成立0，故B不成立0，故C不成立0，故D不成立【错解分析】处容易忽视利用几何图形的性质和相等向量的定义，不能推出相等向量而导致推导无法进行；处向量减法的几何意义应用时字母顺序出错，则会导致错误【答案】A【防范措施】1.重视向量知识与平面几何知识的结合利用平面几何中线线平行、线段相等可以推出向量共线，向量相等等结论，为向量式的变形提供依据如本例中，利用线段中点及三角形中位线的性质可以推出等结论2记准向量减法的几何意义根据向量减法的几何意义作两个向量的差的
9、基本步骤：作平移，共始点，两尾连，指被减本例中，一定要注意指向被减向量如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，a，b，c，则abc(用a，b，c表示)解析：由题意，在平行四边形ABCD中，因为a，b，所以ab，所以ab，所以abc.一、选择题1在ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则等于(D)A. B.C. D.2下列等式中正确的个数是(C)a0a；baab；(a)a；a(a)0；a(b)ab.A2B3C4D5解析：正确3在ABC中，a，b，则等于(B)AabBabCabDba解析：ab.二、填空题4.0.解析：0.5已知a，b，|5，|12，AOB90，那么|ab|13.解析：AOB为直角三角形，有|ab|13.三、解答题6.如图所示，O是四边形ABCD内任意一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使ab，cd，并画出bc和ad.解：如图所示，由于ab，故向量a的起点是A、终点是O，向量b的起点是O、终点是B.又cd，故c和d的起点都是O，它们的终点分别是C和D.bc，ad.作图如图所示