1、第 8 章 第 5 节 一、选择题1一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为()A8 2 B8 C4 2 D4答案 B解析 球的半径 R 1212 2，S4R28 故选 B.2已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该空间几何体的体积是()A.143B.73C14 D7分析 根据三视图还原出空间几何体，按照体积计算公式进行计算答案 A解析 这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台，这个四棱台的高是 2，上底面是边长为 1 的正方形、下底面是边长为 2 的正方形，故其体积 V13(12 122222)2143.3设矩形的边长分别为 a，b(ab)，将其按两种方
2、式卷成高为 a 和 b 的圆柱筒，以其为侧面的圆柱的体积分别为 Va 和 Vb，则()AVaVbBVaVbCVaVbDVa 和 Vb 的大小不确定答案 B解析 由题意，Vb(a2)2b 14a2b，Va(b2)2a 14b2a，因为 ab，所以 VaVb.4(2010新课标文)设长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A3a2B6a2C12a2D24a2答案 B解析 本题考查了长方体的外接球的表面积的算法，此题是简单题，在解决问题时首先考虑借助长方体和球的关系求得球的半径由题可知，长方体的长、宽、高分别为 2a，a，a，其顶点在同一个球面上，所以球的直
3、径等于长方体的体对角线的长度，故 2R 4a2a2a2，解得 R 62 a，所以球的表面积 S4R26a2，故选 B.5已知三棱锥 OABC 中，OA、OB、OC 两两垂直，OC1，OAx，OBy，若 xy4，则三棱锥体积的最大值是()A.13B.23C1 D.43答案 B解析 由条件可知 V 三棱锥 OABC16OAOBOC16xy16(xy2)223，当 xy2 时，取得最大值23.6某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为()A(16)cm3B(163)cm3C(204)cm3D(18)cm3分析 本题考查三视图、长方体和圆柱体的体积计算，解题的关键是根据三视图想象出几
4、何体的直观图，再利用体积公式进行求解答案 B解析 由三视图知，该几何体的上部分是正四棱柱，下部分是圆柱正四棱柱的底面边长为 4cm，高为 1cm，其体积为 16cm3；圆柱的底面半径为 1cm，高为 3cm，其体积为 3cm3.所以该几何体的体积为(163)cm3.7若圆锥轴截面的顶角 满足32，则其侧面展开图中心角 满足()A.43B.32C.2 D 2答案 D解析 3，2 26，4，sin12，22.又rlsin12，22，其侧面展开图中心角 rl2(，2)8(2010全国卷理)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 ABCD2.则四面体 ABCD 的体积的最大值为()A.
5、2 33B.4 33C2 3D.8 33答案 B解析 过 CD 作平面 PCD，使 AB平面 PCD，交 AB 于 P，设点 P 到 CD 的距离为 h，则有 V 四面体 ABCD132122h23h，当直径通过 AB 与 CD 的中点时，hmax222122 3，故 Vmax4 33.二、填空题9(2010天津理)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_答案 103解析 由三视图知，该几何体由一个高为 1，底面边长为 2 的正四棱锥和一个高为 2，底面边长为 1 的正四棱柱组成，则体积为 22113112103.10(2011广东广州)将圆心角为23，面积为 3 的扇形，作为圆锥的
6、侧面，则圆锥的表面积等于_答案 4解析 设扇形的半径为 r，弧长为 l，则有12rl1223 r23，所以 r3，l2，于是圆锥的母线长为 3，底面半径为 1，故表面积 S13124.11(2010湖北理)圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如右图所示)，则球的半径是_cm.答案 4解析 设球的半径为 r，根据题意可得 8r2343r36r3，解得 r4.三、解答题12已知球的半径为 R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解析 作轴截面如图，令圆柱的高为 h，
7、底面半径为 r，侧面积为 S，则 h22r2R2，即 h2 R2r2，S2rh4rR2r24 r2R2r24r2R2r2222R2，当且仅当 r2R2r2 时取等号，此时内接圆柱底面半径为 22 R，高为 2R，最大侧面积等于 2R2.13(2010新课标卷)如图，已知四棱锥 PABCD 的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为 H，PH 为四棱锥的高(1)证明：平面 PAC平面 PBD；(2)若 AB 6，APBADB60，求四棱锥 PABCD 的体积解析 本题综合考查立体几何的知识，其中主要考查面面垂直的判定定理和棱锥的体积公式，在解决时要仔细审核题意，找准入手点进行解决，题目定位于中
8、低档题，考查处理立体几何的常规方法解：(1)因为 PH 是四棱锥 PABCD 的高，所以 ACPH.又 ACBD，PH，BD 都在平面 PBD 内，且 PHBDH，所以 AC平面 PBD，故平面 PAC平面 PBD.(2)因为 ABCD 为等腰梯形，ABCD，ACBD，AB 6，所以 HAHB 3.因为APBADB60，所以 PAPB 6，HDHC1，可得 PH 3，等腰梯形 ABCD 的面积为 S12ACBD2 3.所以四棱锥的体积为 V13(2 3)332 33.14已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的侧棱 AA1 垂直于底面，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ABBC，ADAA1
9、2，ABBC1，E，F 分别为 A1D，CD 中点(1)求证：EF平面 A1ACC1；(2)求证：CD平面 A1ACC1，并求四棱锥 DA1ACC1 的体积证明(1)连 A1C，E、F 分别为 A1D，CD 中点，EFA1C，又A1C平面 A1ACC1，EF平面 A1ACC1EF平面 A1ACC1(2)四边形 ABCD 为直角梯形且 ADBC，ABBC，AD2，ABBC1，ACCD 2，AD2AC2CD2，CDAC，又AA1平面 ABCD，CD平面 ABCD，CDAA1，AA1平面 A1ACC1.AC平面 A1ACC1，CD平面 A1ACC1CD 为四棱锥 DA1ACC1 的高，V13SA1A
10、CC1CD1322 243.15如图，侧棱垂直于底面的三棱柱 ABCA1B1C1 的底面 ABC 位于平行四边形 ACDE 中，AE2，ACAA14，E60，点 B 在线段 DE 上(1)当点 B 在何处时，平面 A1BC平面 A1ABB1；(2)点 B 在线段 DE 上运动的过程中，求三棱柱 ABCA1B1C1 全面积最小值分析 本题属于立体几何探究问题，第(1)问解题思路是逆向的推理问题，从结论下手，寻求解题突破口；第(2)问解决的关键是将动点转化为代数表达式，从而将问题解决解析(1)由于三棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱锥，则AA1平面 ABC，BC平面 ABC，AA1BC.而 AA1
11、ABA，只需 BC平面 A1ABB1，即 ABBC，就有“平面 A1BC平面 A1ABB1”在平行四边形 ACDE 中，AE2，AC4，E60.过点 B 作 BH 垂直 AC 于 H，则 BH 3.若 ABBC，有 BH2AHCH，AC4，AH1 或 3.两种情况下，B 为 ED 的中点或与点 D 重合(2)三棱柱 ABCA1B1C1 全面积等于侧面积与两个底面积之和显然其底面积和平面 ACC1A1 的面积为定值，只需保证侧面 ABB1A1 和侧面 B1C1CB 面积之和最小即可过点 B 作 BF 垂直 AC 于 F，则 BF 3.令 AFx，则侧面 ABB1A1 和侧面 B1C1CB 面积之和等于 4(ABBC)43x234x2其中 3x2 34x2表示动点(x,0)到定点(0，3)和(4，3)的距离之和，当且仅当x2 时取得最小值所以三棱柱的全面积的最小值为24 324242 74 38 716.点评 立体几何题中求值问题多数情况下是求体积和面积问题，解题时重点关注题目中的位置关系，垂直是求值的根源本题中的动点问题，还有存在性问题都是当前高考命题的热点，同学们需认真把握
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