1、 一、选择题1(2010安徽理)i 是虚数单位，i33i()A.14 312i B.14 312i C.12 36 i D.12 36 i答案 B解析 i33ii 33i 33i 33i3 3i1214 312i，故选 B.2(2010山东理)已知a2iibi(a，bR)，其中 i 为虚数单位，则 ab()A1 B1 C2 D3答案 B解析 a2iiia2ii2ai2，b2，a1，故 ab1.3(2009海南)复数32i23i32i23i()A0 B2 C2i D2i答案 D解析 本题主要考查复数的运算32i23i32i23i32i23i32i23i23i23i26i132i.4(2009广东
2、)设 z是复数，(z)表示满足zn1的最小正整数n，则对虚数单位i，(i)()A8 B6 C4 D2答案 C解析 考查阅读理解能力和复数的概念与运算(z)表示使 zn1 的最小正整数 n.又使 in1 成立的最小正整数 n4，(i)4.5已知 z(2i)(11i)(i 为虚数单位)，则复数 z 在复平面上所对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限分析 本题主要考查复数的运算解题时要注意1ii 的运用答案 D解析 z(2i)(11i)(2i)(1i)3i，故选 D6复数 zi 在映射 f 下的象为 z i，则12i 的原象为()A2 B2i C2i D13i答案 A解析 由题意可
3、令 f(zi)z i12i，z 12ii2i，z2i，原象为 2ii2.7(2010陕西理)复数 z i1i在复平面上对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案 A解析 z i1i1212i，对应点在第一象限8(2010浙江理)对任意复数 zxyi(x，yR)，i 为虚数单位，则下列结论正确的是()A|z z|2yBz2x2y2C|z z|2xD|z|x|y|答案 D解析 zxyi，z xyi，有|z z|2yi|2|y|，A 错，C 错z2(xyi)2x2y22xyi，B 错，故选 D.二、填空题9使不等式(m24m3)i10m2(m23m)i 成立的实数 m_.答案 3解
4、析 只有两个复数都为实数才可以比较大小，m24m30m23m010m2，m3.10若 z1a2i，z234i，且z1z2为纯虚数，则实数 a 的值为_答案 83解析 设z1z2bi(bR 且 b0)，z1bi(z2)，即 a2ibi(34i)4b3bi.a4b23b a83.11给出下列命题：若 zC，则 z20；若 a、bR，且 ab，则 aibi；若 aR，则(a1)i 是纯虚数；若 z1i，则 z31 对应的点在复平面内的第一象限，其中正确的命题是_(写出你认为正确的所有命题的序号)答案 解析 xR 时，x20，但 zC 时，z20 不成立，如(1i)22i，故错；不全为实数的两个复数不
5、能比较大小，故错；当 a1 时，(a1)i0 不是纯虚数，故错；z1ii，z311i 在复平面内对应点在第一象限故对三、解答题12若 i 是虚数单位，求满足(pqi)2qpi 的实数 p、q.解析 由(pqi)2qpi 得(p2q2)2pqiqpi，所以p2q2q，2pqp.解得p0q0，或p0q1，或p 32q12，或p 32q12.13已知 z 是复数，z2i、z2i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(zai)2 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 a 的取值范围解析 设 zxyi(x、yR)，z2ix(y2)i，由题意得 y2.z2ix2i2i 15(x2i)(2i)15(2x2)15
6、(x4)i，由题意得 x4.z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，根据条件，可知124aa20，8a20，解得 2a6，a 的取值范围是(2,6)14已知 mR，复数 zmm2m1(m22m3)i，当 m 为何值时，(1)zR；(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面第二象限；(4)z 对应的点在直线 xy30 上分析 复数 zabi(a，bR)，当且仅当 b0 时，zR；当且仅当 a0 且 b0 时，z 为纯虚数；当 a0 时，z 对应的点位于复平面的第二象限；复数 z 对应的点的坐标是直线方程的解，这个点就在这条直线上解析(1)由 m22m30 且 m10 得 m3，
7、故当 m3 时，zR.(2)由mm2m1 0m22m30.解得 m0，或 m2.当 m0 或 m2 时，z 为纯虚数(3)由mm2m1 0，解得 m3 或 1m2，故当 m3 或 1m0，所以 v8，故AB(6,8)(2)由OB(10,5)，得 B(10,5)，所以直线 OB 的方程为 y12x.由条件可知圆的标准方程为(x3)2(y1)210，所以圆心坐标为(3，1)，半径为 10.设圆心(3，1)关于直线 OB 的对称点为(x，y)，x32 2y12 0，y1x32，解得x1，y3.故所求圆的方程为(x1)2(y3)210.例 2 如图所示，若点 D 是ABC 内一点，并且满足 AB2CD
8、2AC2BD2，求证：ADBC.分析 借助向量的减法，分别表示出向量，然后代入已知条件证明证明 设ABc，ACb，AD m，则BD AD ABmc，CD AD ACmb.AB2CD2AC2BD2，c2(mb)2b2(mc)2，即c2m22mbb2b2m22mcc2，即 2m(cb)0，即AD(ABAC)0，AD CB0，ADBC.二、函数与方程思想在向量解题中的应用平面向量的坐标运算使平面向量代数化，而向量与代数中的函数最值等问题结合，即是通过向量的数量积的坐标运算联系起来的向量与其他知识的结合，已成为高考命题的热点例 3 已知 a(3，1)，b12，32，且存在实数 k 和 t，使得 xa(
9、t23)b，ykatb，且 xy.试求kt2t的最小值分析 本题借助 xy 建立 k 与 t 的函数关系，再利用函数的有关知识解决解析 a(3，1)，b12，32，|a|32122，|b|1223221.ab 312(1)32 0，故有 ab.由 xy，得a(t23)b(katb)0，即ka2(t33t)b2(tkt23k)ab0，k|a|2(t33t)|b|20.将|a|2，|b|1，代入上式得4kt33t0，kt33t4，kt2t14(t24t3)14(t2)274，故当 t2 时，kt2t有最小值74.三、整体思想在向量中的应用向量具有几何和代数的双重性，数与形的紧密结合是向量的特点向量
10、的坐标表示，实际上是向量的代数表示，引入向量的坐标表示后，使向量的运算坐标化，即代数化平面向量OA 与点 A(x，y)之间建立了一一对应关系，对平面向量来讲既有大小又有方向，是一个整体；对OA(x，y)，(x，y)也是一个整体，向量的许多运算都可以用这个“整体”来解决，这就是向量的坐标运算的整体思想.例 4 如图所示，在 RtABC 中，已知 BCa，若长为 2a 的线段PQ 以点 A 为中点，问：PQ 与BC的夹角 取何值时，BPCQ 的值最大？并求出这个最大值分析 解答本题的关键是要结合图形，利用向量的三角形法则找出向量之间的关系；或建立适当的坐标系，利用向量的坐标形式来解答解析 以直角顶
11、点 A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系设 B(b,0)，C(0，c)，所以 b2c2a2.设 P 点坐标为(x，y)，则 Q 点坐标为(x，y)，且 x2y2a2，则BP(xb，y)，CQ(x，yc)BPCQ(xb)(x)y(yc)(x2y2)(bxcy)又BC(b，c)，PQ(2x，2y)而BCPQ 2a2cos2bx2cy，BPCQ a2cosa2.当 cos1 时，BPCQ 有最大值 0，即当 0(即PQ 与BC的方向相同)时，BPCQ 最大，最大值为 0.四、数形结合思想在向量解题中的应用利用向量解决平面几何问题是一种基本方法以向量为工具，应用向量的加、减法的几
12、何意义，也可用基底或坐标表示，然后经过推理论证得出结论高考中向量与平面几何的结合越来越密切，甚至在整个解析几何综合题中充当“主角”例 5 已知 AC、BD 是四边形 ABCD 的对角线，且 AC 和 BD 互相平分求证：四边形ABCD 是平行四边形分析 利用向量证明四边形为平行四边形时，只需证明表示四边形两条对边的向量相等即可证明 如图所示，设四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点O 且互相平分，于是AO OC，OB DO.则ABAO OB OB AODO OC DC，因此ABDC 且|AB|DC|.所以四边形 ABCD 为平行四边形五、分类讨论思想在复数中的应用分类讨论又称逻辑划分，
13、是中学数学中最常用的数学思想之一，也是高考中常考常新的数学思想，分类讨论的关键是划分标准恰当准确从而对问题分类依次求解，综合推断出问题的结论分类必须满足互斥、无漏、最简的原则，用集合子集来看待分类，应该是“交空并全”的完全分类分类讨论的数学思想在复数中主要体现在对复数类型的讨论例 6 复数m2m6m3(m22m15)i，求实数 m，使得(1)z 是实数；(2)z 是纯虚数；(3)z 是复数解析 实部为m2m6m3m2m3m3，虚部为 m22m15(m3)(m5)(1)要使 z 为实数，则m3m50m30，即m3或m5m3，当 m5 时，z 是实数(2)要使 z 为纯虚数，则m2m3m30m3m50，即m2或m3m3且m5，当 m2 或 m3 时，z 是纯虚数(3)要使 z 为复数，则m2m3m3R，m3m5R，当 m3 时，z 为复数
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