1、专题三 函数与导数 第三讲 导数的简单应用（一）考点解读高考考点考点解读导数的几何意义1.确定或应用过某点的切线的斜率（方程）利用导数研究函数的单调性1.利用函数的单调性与导数的关系，讨论含有参数的较复杂基本函数的单调性（区间）2.根据函数的单调性，利用导数求某些参数的取值范围.利用导数研究函数的极值和最值1.利用函数的极值与导数的关系，求某些含有参数的较复杂基本函数的极值的大小、个数或最值2.根据函数极值的存在情况，利用导数求某些参数的取值范围（二）核心知识整合考点1：导数的几何意义1.基本初等函数的八个导数公式原函数导函数x12. 导数的四则运算法则（1）；（2）；（3）.3.复合函数的求
2、导公式设函数均可导，则复合函数也可导，且.即：因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.（链式法则）.4.切线的斜率函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0). 典型例题1.已知函数，则( )A.B.1C.D.答案：C解析 ，当时，.故选C.2.已知函数，其导函数记为，则( )A.2B.-2C.3D.-3答案：A解析 由已知得，则，显然为偶函数.令，显然为奇函数，又为偶函数，所以，所以.故选A.规律总结1求曲线yf(x)的切线方程
3、的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求yf(x)在点P处的切线方程：求出切线的斜率f (x0)，由点斜式写出方程(2)已知切线的斜率为k，求yf(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程kf (x0)解得x0，再由点斜式写出方程(3)已知切线上一点(非切点)，求yf(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f (x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程2根据过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直等求参数问题的解法：利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解提醒：求曲线的切线方程
4、时，务必分清点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点，求解时应先求出切点坐标跟踪训练1.已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是( )A.B.C.D.答案：D解析 ，.由题意，知曲线在点P处的切线的斜率存在，设，则切线的斜率，.，故选D.2.设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )A.B.C.D.答案：C解析 由题意，得的定义域是R，因为是奇函数，所以，即，所以，则，所以，则，所以.又，所以切线方程是，即.故选C.考点2：利用导数研究函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x0)0那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x0
5、)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减.典型例题典型例题1.已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是( )A.B.C.D.答案：C解析 由成立，可得.设，则存在，使得成立，即.又，当且仅当，即时取等号，所以.故选C.2.已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则( )A.，B.，C.，D.，答案：D解析 令，则，所以函数在R上单调递减，所以，即，故，.故选D.规律总结1导数与单调性之间的关系(1)导数大(小)于0的区间是函数的单调递增(减)区间(2)函数f(x)在D上单调递增xD，f (x)0且f (x)在区间D的任何子区间内都不恒为零；函数f(x)在D上单调递减xD，f (x)0
6、且f (x)在区间D的任何子区间内都不恒为零 2根据函数的单调性求参数取值范围的思路(1)求f (x)(2)将单调性转化为导数f (x)在该区间上满足的不等式恒成立问题求解 提醒：在求函数单调区间时，要满足定义域优先原则，首先要考虑函数的定义域，以免单调区间求错.跟踪训练1.若在是减函数，则m的取值范围是( )A.B. C.D. 答案：C解析 在是减函数，在恒成立，时，在递减，符合题意，时，只需在恒成立即可，即，因为，则，综上，故选C2.已知函数在区间上是增函数，则实数m的取值范围为( )A.B.C.D.答案：D解析 由已知得，因为在区间上是增函数，所以在上恒成立，即，即在上恒成立，又，当且仅
7、当时，等号成立，所以.故选D.考点3：利用导数研究函数的极值和最值1.函数的极值a.函数的极值的定义一般地，设函数f（x）在点x=x0及其附近有定义，（1）若对于x0附近的所有点，都有f（x）f（x0），则f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0）.极大值与极小值统称为极值，在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.b.求函数极值的基本步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f（x）在这个根处取得极大值；如果左正右负，则f（x）在这个根处取得极小值（最好通过列表法）. 2.
8、 函数的最值（1）函数的最小值与最大值定理若函数y=f（x）在闭区间a，b上连续，则f（x）在a，b上必有最大值和最小值；在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值，如.（2）通过导数求数最值的的基本步骤：若函数y=f（x）在闭区间a，b有定义，在开区间（a，b）内有导数，则求函数y=f（x）在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求函数f（x）在（a，b）内的导数；求方程f（x）=0在（a，b）内的根；求在（a，b）内使f（x）=0的所有点的函数值和f（x）在闭区间端点处的函数值f（a），f（b）；比较上面所求的值，其中最大者为函数y=f（x）在闭区间a，b上的最大值，最小者
9、为函数y=f（x）在闭区间a，b上的最小值. 典型例题1.已知函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围为( )A.B.C.D.答案：A解析 易知函数的导数，令，得，即.设，则，当时，；当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示.由图得或.当时，恒成立，所以无极值，所以.故选A.2.已知是奇函数，当时，当时，的最小值为1，则a的值为( )A.1B.2C.3D.-1答案：A解析 因为是奇函数，当时，的最小值为1，所以在区间上的最大值为-1，当时，令，得.又，所以，令，则，所以在区间上单调递增；令，则，所以
10、在区间上单调递减，所以，所以，则.故选A.规律总结1利用导数研究函数极值与最值的步骤(1)利用导数求函数极值的一般思路和步骤求定义域；求导数f (x)；解方程f (x)0，研究极值情况；确定f (x0)0时x0左右的符号，定极值(2)若已知函数极值的大小或存在情况，求参数的取值范围，则转化为已知方程f (x)0根的大小或存在情况来讨论求解(3)求函数yf(x)在a，b上最大值与最小值的步骤求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值提醒：(1) 求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数
11、的极值点；(2) 求函数最值时，务必将极值点与端点值比较得出最大(小)值；(3) 对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数分类讨论跟踪训练1.已知函数，过点引曲线的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若，则的极大值点为( )A.B.C.D.答案：A解析 设切点坐标为.因为，所以，即，解得或.因为，所以，即，则，.当或时，；当时，.故的极大值点为.故选：A.2.已知函数的导函数的最小值为4，则的取值范围是( )A.B.C.D.答案：C解析 由题可知，则(当且仅当时等号成立)，即，即，结合得，且令，则当时，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，且函数的取值范围是，函数的取值范围是，即的取值范围是，故选C