1、目标导航1掌握平面向量数量积的坐标表达式及其运算(重点)2会用向量的坐标运算求解与向量模、夹角、垂直等相关问题(难点)1 新知识预习探究 知识点一 平面向量数量积的坐标表示阅读教材 P106，完成下列问题(1)平面向量数量积的坐标表示设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab即两个向量的数量积等于(2)向量的模与两点间距离公式设 a(x，y)，则|a|x2y2.如果向量 a 的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么|a|x2x12y2y12.(3)两向量垂直的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab .x1x2y1y2.它们对应坐标的乘积的和x1
2、x2y1y20【练习 1】(正确的打“”，错误的打“”)(1)若 A(1,0)，B(0，1)，则|AB|2.()(2)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y10.()(3)若 a(1,3)，b(2,4)，则 ab14.()知识点二 向量夹角的坐标表示阅读教材 P107，完成下列问题 向量的夹角公式已知 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其夹角为，则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.【练习 2】已知 a(3,0)，b(5,5)，则 a 与 b 的夹角为_答案：342 新视点名师博客1.三个重要公式2对向量模长公式的理解(1)模长公式是数
3、量积的坐标表示 abx1x2y1y2 的一种特例，当 ab 时，则可得|a|2x2y2；(2)若点 A(x1，y1)，点 B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)，所以|AB|x2x12y2y12，即|AB|的实质是 A，B 两点间的距离或线段 AB 的长度，这也是模的几何意义.3 新课堂互动探究 考点一 平面向量数量积的坐标运算例 1 已知向量 a(1,3)，b(2,5)，c(2,1)求：(1)ab；(2)(ab)(2ab)；(3)(ab)c，a(bc)分析：明确相应向量的坐标 代入相应的运算法则 结果.解析：(1)ab(1,3)(2,5)123517.(2)ab(1,3)(2,5)(
4、3,8)，2ab2(1,3)(2,5)(2,6)(2,5)(0,1)，(ab)(2ab)(3,8)(0,1)30818.(3)(ab)c17c17(2,1)(34,17)，a(bc)a(2,5)(2,1)(1,3)(2251)9(1,3)(9,27)点评：(1)如果题目给出平面向量的坐标表示，可由已知条件求出 a，b 的坐标，再用向量的数量积的坐标公式求解(2)如果知道两个向量的坐标，可直接套用平面向量数量积的坐标运算公式求其数量积，不必利用定义去求数量积变式探究 1 如果 a(2，3)，b(x,2x)，且 3ab4，求 x的值解析：a(2，3)，b(x,2x)，3ab4，(6，9)(x,2x
5、)4，即 6x18x4，12x4，x13.考点二 两向量垂直的坐标运算例 2 已知向量 a(cos()，sin()，bcos2，sin2，(1)求证：ab；(2)若存在不等于 0 的实数 k 和 t，使 xa(t23)b，ykatb 满足 xy，试求此时kt2t的最小值分析：解析：(1)abcos()cos2 sin()sin2sincossincos0.ab.(2)由 xy，得 xy0，即a(t23)b(katb)0，ka2(t33t)b2tk(t23)ab0，k|a|2(t33t)|b|20.又|a|21，|b|21，kt33t0，kt33t，kt2tt3t23ttt2t3t122114.
6、故当 t12时，kt2t有最小值114.点评：利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质与利用定义解决垂直问题一致，利用坐标表示是把垂直条件代数代，从而使判定方法更加简捷、运算更加直接，体现了向量问题代数化的思想变式探究 2 已知向量OA(3，4)，OB(6，3)，OC(5m，(3m)若ABC 为直角三角形，且A 为直角，求实数 m 的值解析：若ABC 为直角三角形，且A 为直角，则ABAC，由已知AB(3,1)，AC(2m,1m)，3(2m)(1m)0，解得 m74.考点三 两向量夹角的坐标运算例 3 已知平面向量 a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)且 ab，ac.(1)求 b 与 c
7、；(2)若 m2ab，nac，求向量 m，n 的夹角的大小分析：(1)利用平行、垂直列方程求 x，y；(2)先求 m，n 的坐标，再求夹角解析：(1)ab，3x49，x12.ac，344y0，y3，b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)，设 m，n 的夹角为，则 cos mn|m|n|37413242 72122525 2 22.0，34，即 m，n 的夹角为34.点评：利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤为：(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积(2)利用|a|x2y2计算出这两个向量的模(3)
8、由公式 cosx1x2y1y2x21y21 x22y22直接求出 cos 的值(4)在 0 内，由 cos 的值求角.变式探究 3 已知 a(1,2)，b(1，)，分别确定实数 的取值范围，使得a 与 b 的夹角为直角；a 与 b 的夹角为锐角解析：设 a 与 b 的夹角为，|a|1222 5，|b|12，ab12.因为 a 与 b 的夹角为直角所以 cos0，所以 ab0，所以 120，所以 12.因为 a 与 b 的夹角为锐角，所以 cos0 且 cos1.所以 ab0 且 a 与 b 不同向由 ab0 得 120，故 12，a 与 b 的横坐标都是 1，当 2 时，a 与 b 方向相同，
9、a与 b 的夹角为锐角，12且 2.考点四 利用数量积的坐标表示求向量的模例 4 已知 a(m1，3)，b(1，m1)，若(ab)(ab)，求|a|，|b|.分析：求出ab的坐标 abab 列出关于m的方程组 求出|a|，|b|.解析：a(m1，3)，b(1，m1)，(ab)(ab)，(ab)(ab)0.|a|2|b|20，即|a|b|.m1232 12m12，解之得 m2.|a|21232 10 1212|b|.答案：|a|b|10点评：本题关键是利用坐标运算及向量垂直的关系，列出方程求出未知参数 m，再利用向量模的定义求出向量的模变式探究 4 平面向量 a 与 b 的夹角为 60，a(2,
10、0)，|b|1，则|a2b|()A.3 B2 3C4 D12解 析：由 已 知|a|2，|a 2b|2 a2 4ab 4b2 4 421cos60412，|a2b|2 3.答案：B4 新思维随堂自测1.已知 a(3,4)，b(2，1)，则(ab)(a2b)等于()A5 B10C15 D20解析：(ab)(a2b)(5,5)(34,42)(5,5)(1,2)15255.答案：A2已知平面向量 a(3,1)，b(x，3)，且 ab，则 x()A3 B1C1 D9解析：abx1x2y1y23x30 x1.答案：C3设向量 a 与 b 的夹角为，且 a(3,3)，2ba(1,1)，则cos_.解析：设
11、 b(x，y)，则 2ba(2x,2y)(3,3)(2x3,2y3)(1,1)，2x31,2y31，得 x1，y2.b(1,2)则 cos ab|a|b|3，31，23 2 531323 2 5 3103 1010.答案：3 10104已知向量 a(2,2)，b(5，k)若|ab|不超过 5，则 k的取值范围是_解析：因为 ab(3,2k)，所以|ab|322k2 134kk2.令 134kk25，解得6k2.答案：6k25已知平面向量 a(2,4)，b(1,2)，若 ca(ab)b，则|c|_.解析：a(2,4)，b(1,2)，ab6，c(2,4)6(1,2)(8，8)，|c|8 2.答案：8 25 辨错解走出误区易错点：忽略共线条件【典例】2014黄冈中学月考题已知向量 a(2，1)，b(，1)，且 a 与 b 的夹角为钝角，试求实数 的取值范围【错解】a 与 b 的夹角为钝角，ab0，(2，1)(，1)210，12.【错因分析】忽略了 a，b 共线反向的情况【正解】a 与 b 的夹角为钝角，ab0，(2，1)(，1)210，12.又当 a 与 b 反向共线时，夹角为 180，即 ab|a|b|，则 21 5 21.解得 2，故排除反向共线的情形，即排除 2，所以实数 的取值范围为12，2(2，).