1、高考资源网（） 您身边的高考专家第三节平面向量的数量积【最新考纲】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系1平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量和b，它们的夹角为，则数量|b|cos_叫做与b的数量积(或内积)规定：零向量与任一向量的数量积为0(2)几何意义：数量积b等于的长度|与b在的方向上的投影|b|cos_的乘积2平面向量数量积的运算律(1)交换律：bb；(2)数乘结合律：()b(b)(b)；(3)分配律：(b
2、c)bc3平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量(x1，y1)，b(x2，y2)，b1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)由b0，可得0或b0.()(2)由bc及0不能推出bc.()(3)在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD为矩形()(4)若b0，则与b的夹角为锐角；若b0，则和b的夹角为钝角()解析：由数量积的定义，(2)显然正确在(1)中，若0，b0时，应有b，(1)错在(3)中，四边形ABCD为菱形，(3)不正确在(4)中，若，b0，有b0；若，b，有b0，(4)错答案：(1)(2)(3)(4)2(2015山东卷)已知菱形ABCD的边长为，ABC6
3、0，则()A2B2C.2D.2解析：由条件得cos 302.答案：D3已知单位向量e1，e2的夹角为，且cos ，若向量3e12e2，则|_解析：由题意知|22(3e12e2)29e4e12e1e294129.故|3.答案：34(2016郑州二检)已知点A(1，1)、B(0，3)、C(3，4)，则向量在方向上的投影为_解析：(0，3)(1，1)(1，2)，(3，4)(1，1)(4，3)，在方向上的投影为2.答案：25设向量(3，3)，b(1，1)若(b)(b)，则实数_解析：|3，|b|，因为(b)(b)，所以(b)(b)|22|b|218220.故3.答案：3一个条件两个非零向量垂直的充要条
4、件：bb0.一种方法利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧两个探究1若b0，能否说明和b的夹角为锐角？(不能)2若b0，能否说明和b的夹角为钝角？(不能)三个防范1数量积运算不满足消去律，若向量，b，c满足bc(0)，则不一定有bc.2数量积运算不满足结合律，即(b)c(bc)，这是由于(b)c表示一个与c共线的向量，(bc)表示一个与共线的向量，而与c不一定共线3理解向量夹角的概念，比如正三角形ABC中，与的夹角应为120，而不是60.一、选择题1(2014课标全国卷)设向量，b满足|b|，|b|，则b()A1B2C3D5解析：|b|2(b)222bb210
5、，|b|2(b)222bb26，将上面两式左右两边分别相减，得4b4，b1.答案：A2已知(3，2)，b(1，0)，向量b与2b垂直，则实数的值为()A B. C D.解析：向量b与2b垂直，则(b)(2b)0，又因为(3，2)，b(1，0)，故(31，2)(1，2)0，即3140，解得.答案：C3(2016洛阳期末)若平面向量(1，2)与b的夹角是180，且|b|3，则b的坐标为()A(3，6) B(3，6)C(6，3) D(6，3)解析：由题意设b(，2)(0)且|b|3，则3，所以3，b(3，6)答案：A4设xR，向量(x，1)，b(1，2)，且b，则|b|()A. B. C2 D10解
6、析：b，b0，x2，(2，1)，25，b25，|b|.答案：B5(2015安徽卷)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，b满足2，2b，则下列结论正确的是()A|b|1 BbCb1 D(4b)解析：在ABC中，由2b2b，得|b|2.又|1，所以b|b|cos 1201，所以(4b)(4b)b4b|b|24(1)40.所以(4b).答案：D6(2016河南郑州质检)已知向量是与单位向量b夹角为60的任意向量，则对任意的正实数t，|tb|的最小值是()A0 B. C. D1解析：b|b|cos 60|，|tb|，设xt|，x0，|tb|.故|tb|的最小值为.答案：C二、填空题7(2015湖北
7、卷)已知向量，3，则_解析：因为，所以()20，所以2|29.答案：98(2015浙江卷)已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2.若平面向量b满足be1be21，则|b|_解析：e1e2，|e1|e2|cose1，e2，e1，e260.又be1be210，b，e1b，e230.由b，e11，得|b|e1|cos 301，|b|.答案：9若非零向量，b满足|3|b|2b|，则与b夹角的余弦值为_解析：由|2b|，得|2(2b)2|24|b|24b，所以b|b|2.又|3|b|，所以cos，b.答案：三、解答题10已知|4，|b|3，(23b)(2b)61.(1)求与b的夹角；(2)求|b|和|
8、b|.解：(1)由(23b)(2b)61，解得b6.cos .又0，.(2)|b|222bb213，|b|，|b|222bb237.|b|.11(2016惠州二调)设向量(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|b|，求x的值；(2)设函数f(x)b，求f(x)的最大值解：(1)由|2(sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|b|，得4sin2x1.又x，从而sin x，所以x.(2)f(x)bsin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，当x时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.高考资源网版权所有，侵权必究！
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