1、高考资源网（） 您身边的高考专家第九节函数模型及其应用【最新考纲】1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用1常见的几种函数模型(1)一次函数模型：ykxb(k0)(2)反比例函数模型：y(k0)(3)二次函数模型：yax2bxc(a，b，c为常数，a0)(4)指数函数模型：yabxc(b0，b1，a0)型(5)对数函数模型：ymlogaxn(a0，a1，m0)型(6)幂函数模型：yaxnb(a0)型2三种函数之间增长速度
2、的比较1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y2x的函数值比yx2的函数值大()(2)幂函数增长比直线增长更快()(3)不存在x0，使ax0xlogax0.()(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x)()答案：(1)(2)(3)(4)2某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为yalog3(x1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到()A200 只B300 只C400 只 D500 只解析：依题意100alog3(21)，得a100，y100 log3(81)200 (只)答案：A3(20
3、15陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5 B6C8 D10解析：根据图象得函数的最小值为2，有3k2，k5，最大值为3k8.答案：C4某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()解析：前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变产品的总产量应呈直线上升，故选A.答案：A5某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3
4、km按起步价收费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了_km.解析：设出租车行驶了x km，付费y元，由题意得y当x8时，y19.750)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象是()解析：注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.答案：D2(2014湖南卷)某
5、市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.B.C. D.1解析：设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p1)(q1)设这两年生产总值的年平均增长率为x，则(1x)2(p1)(q1)，解得x1.答案：D3某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同若以今年为第一年，如果将第n年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成n的函数，则其表达式为()Ay(3n5)1.2n2.4 By81.2n
6、2.4nCy(3n8)1.2n2.4 Dy(3n5)1.2n12.4解析：第一年企业付给工人的工资总额为：11.280.839.62.412(万元)，而对4个选择项来说，当n1时，C、D相对应的函数值均不为12，故可排除C、D，A、B相对应的函数值都为12，再考虑第2年企业付给工人的工资总额及A、B相对应的函数值，又可排除B.答案：A4一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数vf(h)的大致图象可能是图中的()解析：当h0时，v0可排除A、C；由于鱼缸中间粗两头细，当h在附近时，体积变化较快；h小于时，增加越来越快；h
7、大于时，增加越来越慢答案：B5(2015北京卷)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是()A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析：根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为
8、10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对答案：D二、填空题6A、B两只船分别从在东西方向上相距145 km的甲乙两地开出，A从甲地自东向西行驶B从乙地自北向南行驶，A的速度是40 km/h，B的速度是16 km/h，经过_小时，AB间的距离最短解析：设经过x h，A，B相距为y km，则y(0x)，求得当函数取最小值时x的值为.答案：7(2006长春模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为yaebt(c
9、m3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过_min，容器中的沙子只有开始时的八分之一解析：当t0时，ya，当t8时，yae8ba，e8b，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即yaebta，ebt(e8b)3e24b，则t24，所以再经过16 min.答案：168要制作一个容积为4 m3, 高为1 m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_(单位：元)解析：设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为x m，因为无盖长方体的容积为4 m3，高为1 m，所以长方体的底面矩形的宽为 m，依题意，得y20410802
10、080202160，所以该容器的最低总造价为160元答案：160三、解答题9某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段已知跳水板AB的长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h1)时达到距水面最大高度4 m规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系(1)当h1时，求跳水曲线所在抛物线的方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围解：(1)由题意知抛物线的最高点为(2h，4)，h1，故设抛物线的方程为yax(2h)24.当h1时，最高点为(3，4)，方程为ya(x
11、3)24.将A(2，3)代入，得3a(23)24，解得a1.所以当h1时，跳水曲线所在抛物线的方程为y(x3)24.(2)将A(2，3)代入yax(2h)24，整理得ah21由题意，方程ax(2h)240在区间5，6内有一解由得，yf(x)ax(2h)24x(2h)24，则，解得1h.故达到较好的训练效果时h的取值范围是.10某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时本年度计划将电价调至0.55元0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x0.4)元成反比例又当x0.65时，y0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则
12、电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？收益用电量(实际电价成本价)解析：(1)y与(x0.4)成反比例，设y(k0)把x0.65，y0.8代入上式，得0.8，k0.2.y，即y与x之间的函数关系式为y.(2)根据题意，得(x0.3)1(0.80.3)(120%)整理，得x21.1x0.30，解得x10.5，x20.6.经检验x10.5，x20.6都是所列方程的根x的取值范围是0.550.75，故x0.5不符合题意，应舍去x0.6.当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.B级能力提升1(2016北京海淀一模)已知A(1，0)，点B在曲线G：yln x上
13、，若线段AB与曲线M：y相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点那么曲线G关于曲线M的关联点的个数为()A0 B1C2 D4解析：设B(t，ln t)，则AB的中点为，所以有，ln t，因此关联点的个数就为方程ln t解的个数，由于函数yln t，y在区间(0，)上分别单调递增及单调递减，所以只有一个交点答案：B2某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)n(n1)(2n1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是_年解析：设第n(nN
14、*)年的年产量为an，则a11233；当n2时，anf(n)f(n1)n(n1)(2n1)n(n1)(2n1)3n2.又a13也符合an3n2，所以an3n2(nN*)令an150，即3n2150，解得5n5，所以1n7，nN*，故最长的生产期限为7年. 答案：73(2015江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米
15、，以l1，l2所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y(其中a，b为常数)模型(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为l.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度解：(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)将其分别代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20)，则点P的坐标为，设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，y，则l的方程为y(xt)，由此得A，B.故f(t) ，t5，20设g(t)t2，则g(t)2t.令g(t)0，解得t10.当t(5，1
16、0)时，g(t)0，g(t)是增函数；从而，当t10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min300，此时f(t)min15.故当t10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米基本初等函数与函数的应用指数函数、对数函数是高考考查的热点，题型多以小题的形式出现，中低档难度；二次函数、函数的零点问题是高考考查的重点与热点，题型多以小题或大题的关键一步出现，中高档难度；备考时应理解相关概念，掌握其性质，并切实加强等价转化、数形结合、分类讨论思想的应用意识强化点1二次函数三个二次即二次函数、二次方程、二次不等式等知识交汇命题是高考考查的高频考点常见的命题角度有：(1)二次函数的最值问题；
17、(2)二次函数中恒成立问题；(3)二次函数的零点问题角度一二次函数的最值问题1已知a是实数，记函数f(x)x22ax在区间0，1上的最小值为f(x)min，求f(x)min的解析式解：f(x)x22ax(xa)2a2，对称轴为xa.当a1时，f(x)在0，1上是减函数，f(x) minf(1)12a，综上所述，f(x)min角度二二次函数中恒成立问题2已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在1，1上恒小于零，求实数a的取值范围解：2ax22x30在1，1上恒小于0.当x0时，适合当x0时，a，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以a.综上，实数a的取值范围是aa时有一个解，由x2得a
18、0时，函数f(x)在区间1，2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；(3)当a0时，函数f(x)在区间或1，2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.综上可知，a的值为或3.强化点2指数函数与对数函数【例2】已知0a1，则函数f(x)ax与函数g(x)logax的图象在同一坐标系中可以是()解析：因为0a1，所以函数f(x)ax的图象过点(0，1)且单调递增，函数g(x)logax的图象过点(1，0)且单调递减答案：D已知含参函数的解析式，判断其图象的关键是：根据函数解析式明确函数的定义域、值域，函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断，即可得出
19、正确选项若能熟记基本初等函数图象特征与性质，则解答此类题目就可事半功倍【变式训练】已知f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设af(log47)，bf(log3)，cf(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是()Acab BcbaCbca Dabc解析：log3log231og49，bf(log3)f(log49)f(log49)，log472log49，又f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，故f(x)在0，)上是单调递减的，f(0.20.6)f(log3)f(log47)，即cba.答案：B强化点3函数的应用【例3】已知函数f(x)若方程f(x)xa有
20、且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是()A(，0 B0，1)C(，1 D0，)解析：函数f(x)的图象如图所示，当a1时，函数yf(x)的图象与函数f(x)xa的图象有两个交点，即方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根答案：C解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能【变式训练】(1)函数f(x)3xx2的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1，0)C(0，1) D(1，2)解析：因为函数f(x)在定义域上单调递增，又f(2)
21、32120，f(1)3120，f(0)300210，所以f(0)f(1)0.所以函数f(x)的零点所在区间是(0，1)答案：C(2)(2014湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1，3 B3，1，1，3C2，1，3 D2，1，3解析：令x0，所以f(x)(x)23xx23x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x.所以当x0时，g(x)x24x3.令g(x)0，即x24x30，解得x1或x3.当x0(舍去)或x2.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为2，1，3答案：D一、选择题1若函数f(x
22、)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是()A0，2B0，C0， D2，解析：2ab0，g(x)2ax2axax(2x1)零点为0和.答案：C2(2015山东卷)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()Aabc BacbCbac Dbca解析：因为函数y0.6x是减函数，00.60.60.60.61.5，即ba1.因为函数yx0.6在(0，)上是增函数，110.61，即c1.综上，baf(1)，则()Aa0，4ab0 Ba0，2ab0 Daf(1)且f(0)，f(1)在对称轴同侧，故函数f(x)在(，2上单调递减，则抛物线开口方向朝上，知
23、a0.答案：A4已知一元二次不等式f(x)0的解集为x|x，则f(10x)0的解集为()Ax|1xlg 2Bx|xlg 2Cx|xlg 2Dx|x0的解集为x|1x0，110x，解得xlg ，即xlg 2.答案：D5如图是函数f(x)x2axb的图象，则函数g(x)ln xf(x)的零点所在区间是()A. B(1，2)C. D(2，3)解析：由f(x)的图象知0b1，f(1)0，从而2a1，g(x)ln x2xa，g(x)在定义域内单调递增，gln 1a0，gg(1)0.答案：C6当x2，2时，ax0，且a1)，则实数a的范围是()A(1，) B.C.(1，) D(0，1)(1，)解析：x2，
24、2时，ax0，且a1)，若a1，yax是一个增函数，则a22，得a.故有1a.若0a1，yax是一个减函数，则a2.故有a0时，只需164a0，即0a4.当a0且a1)的图象过点(8，2)和(1，1)(1)求函数f(x)的解析式；(2)令g(x)2f(x)f(x1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x的值解：(1)由得解得m1，a2，故函数解析式为f(x)1log2x.(2)g(x)2f(x)f(x1)2(1log2x)1log2(x1)log21(x1)(x1)22 24.当且仅当x1，即x2时，等号成立而函数ylog2x在(0，)上单调递增，则log21log2411，故当x2时，函数g(
25、x)取得最小值1.11已知函数f(x)log4(ax22x3)(1)若f(1)1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解：(1)f(1)1，log4(a5)1，因此a54，a1，这时f(x)log4(x22x3)由x22x30得1x3，函数f(x)的定义域为(1，3)令g(x)x22x3，则g(x)在(1，1)上递增，在(1，3)上递减，又ylog4x在(0，)上递增，所以f(x)的单调递增区间是(1，1)，递减区间是(1，3)(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)ax22x3应有最小值1，即解得a.故存在实数a使f(x)的最小值为0.高考资源网版权所有，侵权必究！
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